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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 30

Considere novamente as condições do exercício 29.

(a) determine E F X 1   e   E F X n .

Supondo agora que,

f x = 1 ,   0 ≤ x ≤ 1               e               f x = 0 ,     x < 0 ; x ,     0 ≤ x ≤ 1 1 ,     x > 1

Determine:

(b) a densidade de A = X ( n ) - X ( 1 ) .

( c ) E X 1 ,   E X n e a correlação entre X ( 1 )   e   X ( n ) .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas considerando novamente as condições do exercício 29.

(a) determine E F X 1   e   E F X n .

Supondo agora que,

f x = 1 ,   0 ≤ x ≤ 1               e               f x = 0 ,     x < 0 ; x ,     0 ≤ x ≤ 1 1 ,     x > 1

Determine:

(b) a densidade de A = X ( n ) - X ( 1 ) .

( c ) E X 1 ,   E X n e a correlação entre X ( 1 )   e   X ( n ) .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha considerando que um número qualquer n tenha variáveis X 1 , … ,   X n , para determinarmos na letra (a) que,

E F X 1   e   E F X n .

Temos,

E F X 1 = [ x 1 , x 2 , … , x n ] e E F X n = [ x n , x n + 1 ,   … ,   x n + n ]

Calculando a derivada ∂ F ∂ x de ambos os membros temos,

∂ E [ f x 1 ] ∂ x = x n - 1

∂ E [ f x n ] ∂ x = x n

Já que supondo que,

f x = 1 ,   0 ≤ x ≤ 1               e               f x = 0 ,     x < 0 ; x ,     0 ≤ x ≤ 1 1 ,     x > 1

Para determinar na letra (b) que,

A = X ( n ) - X ( 1 )

Temos,

f x = ∫ 0 1 ∫ 0 2 x + 1   d x

Ficando,

f x = x 2 2 + x   ​ 0 2 → 4 2 + 2 = 4 → f x = 4

Na letra ( c ) para E X 1 ,   E X n e a correlação entre X ( 1 )   e   X ( n ) temos,

E x 1 ,   x n = ∫ - ∞ ∞ x 1 x n x d x

Ficando,

E x 1 ,   x n = E ( x 1   E ( x n )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) ∂ E [ f x 1 ] ∂ x = x n - 1 ∂ E [ f x n ] ∂ x = x n

b) f x = 4

c) E x 1 ,   x n = E ( x 1   E ( x n )

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