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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 26

Sejam X   e   Y variáveis aleatórias com distribuição normal bivariada cuja função densidade de probabilidade conjunta de X   e   Y é dada por:

f x , y = 1 2 π σ x σ y 1 - ρ 2 1 2 exp ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 X - μ x σ x 2 + y - μ y σ y 2 - 2 ρ x - μ x y - μ y σ x σ y

a) mostre que ρ é igual ao coeficiente de correlação de X   e   Y .

b) para que valores de ρ ,   X   e   Y são independentes?

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas Seja X   e   Y variáveis aleatórias com distribuição normal bivariada cuja função densidade de probabilidade conjunta de X   e   Y é dada por:

f x , y = 1 2 π σ x σ y 1 - ρ 2 1 2 exp ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 X - μ x σ x 2 + y - μ y σ y 2 - 2 ρ x - μ x y - μ y σ x σ y

a) mostre que ρ é igual ao coeficiente de correlação de X   e   Y .

b) para que valores de ρ ,   X   e   Y são independentes?

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha dada a função densidade de probabilidade conjunta de X   e   Y representada por,

f x , y = 1 2 π σ x σ y 1 - ρ 2 1 2 exp ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 X - μ x σ x 2 + y - μ y σ y 2 - 2 ρ x - μ x y - μ y σ x σ y

Temos que na letra (a) para mostrar que ρ é igual ao coeficiente de correlação X   e   Y temos que ao determinarmos a densidader marginal da probabilidade X   e   Y e decompormos f x , y , vamos ter que,

f x , y = 1 2 π σ 1 exp ⁡ 1 2 σ 1 2 x - μ 1 2 1 2 π   σ 2   1 - ρ 2 exp ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 σ 2 2 y - μ 2 - ρ σ 2 σ 1 X - μ 1 2

E como f x , y = f x x , f ( y | x ) é a expressão de distribuição de x   e   y para N ( μ 1 , σ 1 2 ) , vamos ver a função determinada como,

f y x = 1 2 π σ 2 2 1 - ρ 2 exp ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 σ 2 2 y - μ 2 ρ σ 2 σ 1 x - μ 1 2

Passo 3

Já na letra (b) para saber qual valores de ρ ,   X   e   Y são independentes temos que,

c o v x , y = 1 2 π σ 1 σ 2 1 - ρ 2 ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ σ 1 μ σ 2 v exp ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 μ 2 - 2 ρ u v + v 2 σ 1 σ 2   d u d v

Que calculando a integral dupla completa-se o exponencial com.

μ 2 - 2 ρ u v = μ 2 - 2 ρ u v + v 2 + ρ 2 v 2 - ρ 2 v 2 = μ - ρ v 2 + v 2 ( 1 - ρ 2 )

Que substituindo na integral fica,

c o v x , y = σ 1 σ 2 2 π 1 - ρ 2 ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ μ v exp ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 ( μ 2 - p v 2 + v 2 ( 1 - ρ 2 ) ) d u d v

Logo,

c o v x , y = ρ σ 1 σ 2   ∫ - ∞ ∞ 1 2 π   v 2 e - v 2 2 d v

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) f y x = 1 2 π σ 2 2 1 - ρ 2 exp ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 σ 2 2 y - μ 2 ρ σ 2 σ 1 x - μ 1 2

b) c o v x , y = ρ σ 1 σ 2   ∫ - ∞ ∞ 1 2 π   v 2 e - v 2 2 d v

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