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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 15

Considere um sistema formado por três componentes, conforme ilustração. O sistema continuará funcionando desde que o primeiro componente funcione e que o componente 2 ou o 3 funcionem também. Represente por X 1 , X 2 e X 3 os tempos de vida dos componentes 1, 2 e 3, respectivamente. Suponha que os X i s sejam independentes entre si e que cada X i possua uma distribuição exponencial com parâmetro λ .

a. Seja Y tempo de vida do sistema. Obtenha a função de distribuição acumulada de Y e calcule a diferença para obter a fdp. [Sugestão: F ( y )   P ( Y ≤ y ) ; expresse o evento { Y ≤ y } em termos de uniões e/ou interseções dos três eventos { X 1 ≤ y } ,   { X 2 ≤ y } , e   { X 3 ≤ y } .]

b. Calcule a vida útil esperada do sistema.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Aqui, nossa variável aleatória X é dada por:

f X x = { λ e - λ x                                           x ≥ 0   0                                                               x < 0  

Pois, o enunciado nos diz que temos uma distribuição exponencial com parâmetro λ . Então, bora calcular o que o enunciado nos pede!!!

Passo 2

A função de densidade cumulativa da uma variável aleatória exponencialmente distribuída é:

F X x = P X ≤ x = 1 - e - λ x , x ≥ 0

A fdc de Y é:

F y = P Y ≤ y = P X 1 ≤ y ∪ X 2 ≤ y ∪ X 3 ≤ y

Então, vamos encontrar essa probabilidade.

F y = P X 1 ≤ y ∪ X 2 ≤ y ∪ X 3 ≤ y

= P X 1 ≤ y + P X 2 ≤ y ∪ X 3 ≤ y - P X 1 ≤ y ∪ X 2 ≤ y ∪ X 3 ≤ y

= 1 - e - λ y + 1 - e - λ y 2 - 1 - e - λ 3 , y > 0

F y = 0 , y ≤ 0

Portanto, a fdc de Y é:

F y = { 1 - e - λ y + 1 - e - λ y 2 - 1 - e - λ 3 ,             y > 0   0                                                                                                                                                                 y ≤ 0  

Agora, a fdp de Y pode ser obtida derivando a função acima:

f y = F ' y = λ e - λ y + 2 1 - e - λ y e - λ y - 3 1 - e - λ y 2 e - λ y

= 4 λ e - 2 λ y - 3 λ e - 3 λ y , y > 0

f y = 0 , y ≤ 0

Sendo assim, a fdp de Y é definida por:

f y = { 4 λ e - 2 λ y - 3 λ e - 3 λ y                                               y > 0   0                                                                                                                     y ≤ 0  

Passo 3

O valor esperado é a integral da fdp.

E X = μ X = ∫ - ∞ ∞ x ∙ f ( x ) d x

Então, para o nosso exemplo temos o seguinte:

E Y = ∫ 0 ∞ y ∙ 4 ∙ λ e - 2 λ y - 3 λ e - 3 λ y d y

= 4 λ ∫ 0 ∞ y e - 2 λ y d y - 3 λ ∫ 0 ∞ y e - 3 λ y d y

= 4 λ 1 4 λ 2 - 3 λ 1 9 λ 2

E Y = 2 3 λ

Resposta

  1. Resolução no Passo 2.

  2. E Y = 2 3 λ

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