As impurezas no lote do produto final de um processo químico frequentemente refletem um grave problema. De dados consideráveis reunidos, sabe-se que a proporção Y de impurezas em um lote tem função de densidade dada por

f y = 10 1 - y 9 ,                                                   0 ≤ y ≤ 1 0 ,                                                                         c a s o   c o n t r á r i o  

(a) Verifique que a função dada é uma função de densidade válida.

(b) Um lote é considerado impróprio para venda e, então, não é aceito, se a porcentagem de impureza exceder 60%. Com a qualidade atual do processo, qual é a porcentagem de lotes não aceitáveis?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para comprovarmos que uma função de densidade é válida, nós temos a fórmula abaixo:

∫ y f y = 1

Quer dizer que a integral da função y em todo o intervalo válido de y deve ser igual a 1 .

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Usando a fórmula do Passo 1 para comprovar a validade da função:

∫ 0 1 10 1 - y 9 d y = 1

= - 10 1 - y 10 10 0 1

= - 1 - 1 10 - - 1 - 0 10

1 = 1

Então, podemos concluir que ela é válida.

Passo 3

Os lotes não aceitos são aqueles em que o percentual de impurezas excede 60 % .

Logo, nós queremos encontrar a probabilidade P ( Y ≥ 0,6 ) .

P Y ≥ 0,6 = P ( 0 , 6 ≤ Y ≤ 1 )

= ∫ 0,6 1 f ( y ) d y

= ∫ 0 7 10 1 - y 9 d x

= - 10 1 - y 10 10 0 , 6 1

= - 1 - 1 10 - - 1 - 0,6 10

P Y ≥ 0,6 = 0,4 10

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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