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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 77

Um sistema químico que resulta de uma reação química tem dois importantes componentes, entre outros, em sua mistura. A distribuição conjunta que descreve as proporções X 1 e X 2 , desses dois componentes é dada por

f y = 2 ,                                                         0 < x 1 < x 2 < 1 0 ,                                                           c a s o   c o n t r á r i o  

(a) Dê a distribuição marginal de X 1 .

(b) Dê a distribuição marginal de X 2 .

(c) Qual é a probabilidade de que as proporções dos componentes produzam os resultados X 1 < 0,2   e X 2 > 0,5 ?

(d) Dê a distribuição condicional f x 1 | x 2 x 1 x 2 ) .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. As distribuições marginais são definidas abaixo.

Para a variável aleatória X 1 , temos a fórmula:

g x 1 = ∫ x 2 f ( x 1 ,   x 2 ) d x 2

E para a variável aleatória X 2 :

h x 2 = ∫ x 1 f ( x 1 ,   x 2 ) d x 1

Iremos definir as probabilidades conforme formos resolvendo. Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Definindo a distribuição marginal de X 1 :

g ( x 1 ) = ∫ x 2 f ( x 1 ,   x 2 ) d x 2

= ∫ x 1 1 2 d x 2

= 2 x 2 x 1 1

                                            = 2 - 2 x 1                       0 < x 1 < 1

Passo 3

Definindo a distribuição marginal de X 2 :

h ( x 2 ) = ∫ x 1 f ( x 1 ,   x 2 ) d x 1

= ∫ 0 x 2 2 d x 2

= 2 x 2 0 x 2

                                                    = 2 x 2                       0 < x 2 < 1

Passo 4

Estamos querendo encontrar a probabilidade P ( X 1 < 0,2 ,   X 2 > 0,5 ) que é igual a probabilidade P ( 0 < X 1 < 0,2 ,   0,5 < X 2 < 1 ) .

P 0 < X 1 < 0,2 ,   0,5 < X 2 < 1 = ∫ 0 0,2 ∫ 0,5 1 f ( x 1 ,   x 2 ) d x 2 d x 1

= ∫ 0 0,2 ∫ 0,5 1 2 d x 2 d x 1

= ∫ 0 0,2 2 x 2 0,5 1 d x 1

= ∫ 0 0,2 2 ( 1 - 0,5 ) d x 1

= ∫ 0 0,2 1 d x 1

= x 1 0 0,2

P 0 < X 1 < 0,2 ,   0,5 < X 2 < 1 = 0,2

Passo 5

Por fim, para encontrarmos a distribuição condicional, vamos usar a fórmula a seguir:

f X 1 | X 2 x 1 x 2 = f ( x 1 ,   x 2 ) h ( x 2 )

Sendo assim, para 0 < x 1 < x 2 temos:

f X 1 | X 2 x 1 x 2 = 2 2 x 2 = 1 x 2

Caso contrário:

f X 1 | X 2 x 1 x 2 = 0

Resposta

(a) g x 1 = 2 - 2 x 1

(b) h x 2 = 2 x 2

(c) 0,2

(d) f X 1 | X 2 x 1 x 2 = 1 / x 2

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