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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 48

Considere o teste de igualdade das médias de duas populações normais, em que as variâncias sejam desconhecidas, porém consideradas, porém consideradas iguais. O procedimento apropriado de teste é o teste t para duas amostras. Mostre que o teste t para duas amostras é equivalente ao teste F da analise de variância para um único fator.

Passo 1

Bom galera, vamos considerar um cenário completamente aleatorizado com a tratamentos com igual numero de observações, n , em cada tratamento. Sabemos que na analise de variância do cenário completamente aleatorizado, o valor esperado da soma dos quadrados dos desvios médios é igual a σ 2 , e cada tratamento é pensado como uma população normal com média 0 e variância σ 2 . Assim:

∑ ∑ y i j - y - i . 2 σ 2 = a n - 1 M S E σ 2

= a n - a M S E σ 2 = N - a M S E σ 2 ~ x a n - 1 2

Passo 2

Beleza, vamos definir x a 2 como o valor de qui-quadrado com N - a graus de liberdade, de tal forma que P x 2 > x α 2 = α . Então o intervalo de confiança 100 1 - α % é dado por:

P x 1 - α / 2 2 ≤ x 2 ≤ x α / 2 2 = 1 - α

→ P x 1 - α 2 2 ≤ N - α M S E σ 2 ≤ x α 2 2 = 1 - α

Agora:

N - a M S E σ 2 ≤ σ 2

E

x 1 - a / 2 2 ≤ N - a M S E σ 2

→ σ 2 ≤ N - a M S E x 1 - a / 2 2

Passo 3

Show de bola, assim temos:

P x 1 - a / 2 2 ≤ N - a M S E σ 2 ≤ x a / 2 2 = 1 - α

→ P N - a M S E x a / 2 2 ≤ σ 2 ≤ N - a M S E x 1 - a / 2 2 = 1 - α

Dai o intervalo de confiança 100 1 - α % para σ 2 é:

N - a M S E x a / 2 2 ≤ σ 2 ≤ N - a M S E x 1 - a / 2 2

Resposta

N - a M S E x a / 2 2 ≤ σ 2 ≤ N - a M S E x 1 - a / 2 2

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