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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 50

Mostre que a variância da combinação linear

sum_(i = 1)^a c_i Y_i , é sigma^2 sum_(i = 1 )^a n_i c_i^2 .

Passo 1

Bom galera, considerando um cenário aleatorizado com n_1 tratamentos e observações em cada um dos tratamentos i - 1,2 , ... , a . Se nós assumirmos que os erros são distribuídos normalmente, cada média de tratamento overset(-)(Y)_i . é normalmente distribuída com média mu_i e variância sigma^2 // n_i . Assim, o total do tratamento Y_i é normalmente distribuído com média n_i mu_i e variância n_i sigma^2 .

Passo 2

Belezinha, vamos considerar a combinação linear:

C = sum_(i = 1)^a c_i Y_i .

= c_1 Y_1 + c_2 Y_2 + ... + c_a Y_a .

O valor esperado é dado por:

E (C) = E [c_1 Y_1 + c_2 Y_2 + ... + c_a Y_a .]

= c_1 E (Y_1) + c_2 E (Y_2) + ... + c_a E (Y_a .)

Então, nós temos:

C - E (C) = [c_1 Y_1 + c_2 Y_2 + ... + c_a Y_a .] - [c_1 E (Y_1) + c_2 E (Y_2) + ... + c_a E (Y_a .)]

= c_1 [Y_1 . - E (Y_1 .)] + c_2 [Y_2 . - E (Y_2 .)] + . . . c_a [Y_a . - E (Y_a .)]

Passo 3

Agora, isolando e tendo os valores esperados para ambos os lados, temos:

E [C - E (C)]^2 = c_1^2 E [Y_1 - E (Y_1 .)]^2 + c_2^2 E [Y_2 - E (Y_2 .)]^2 + ... + c_a^2 E [Y_a - E (Y_a .)]^2

+ 2 sum sum c_i c_j E {[Y_i . - E (Y_i .)] [y_j . - E (Y_j .)]}

-> V (C) = c_1^2 V (Y_1) + C_2^2 V (Y^2) + ... + c_a^2 V (Y_a .) + 2 sum sum c_i c_j C o v (Y_i . , Y_j .)

O termo covariância desaparece à medida que os tratamentos são independentes uns dos outros. Assim temos

V (C) = c_1^2 n_1 sigma^2 + c_2^2 n_2 sigma^2 + ... + c_a^2 n_a sigma^2 + 0

= sigma^2 sum_(i = 1)^a n_i c_i^2

Portanto, a variância da combinação linear é dada por:

sigma^2 sum_(i = 1)^a n_i c_i^2

Resposta

sigma^2 sum_(i = 1)^a n_i c_i^2

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