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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 41

Uma empresa de doces distribui caixas de chocolate com uma mistura de cremes, caramelos e bebidas. Suponha que o peso de cada caixa seja de um quilograma, mas os pesos individuais dos cremes, caramelos e das bebidas variem de uma caixa para outra. Para uma caixa selecionada aleatoriamente, sejam X e Y os pesos dos cremes e dos caramelos, respectivamente, e suponha que a função de densidade conjunta dessas variáveis seja

f x , y = 24 x y ,                 0 ≤ x ≤ 1 ,       0 ≤ y ≤ 1 ,           x + y ≤ 1 0 ,                                                                                                           c a s o   c o n t r á r i o

(a) Determine a probabilidade de que, em certa caixa, os chocolates com bebida sejam responsáveis por mais do que 1/2 do peso.

(b) Determine a densidade marginal para o peso dos cremes.

(c) Determine a probabilidade de que o peso dos caramelos em uma caixa seja menor que 1/8 de quilograma, se sabemos que os cremes constituem 3/4 do peso.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Como X e Y são duas variáveis aleatórias contínuas. Para calcularmos a probabilidade vamos usar a fórmula abaixo, a integral definida no intervalo solicitado:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d x d y

E para definirmos a densidade marginal, para a variável X , temos:

g x = ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d y

Então, bora realizar a questão!!!

Passo 2

Como X é o peso dos cremes, Y é o peso dos caramelos e o peso total da caixa é 1   k g . Sabemos que o peso dos bombons é 1 - X - Y .

Nós precisamos achas a probabilidade P ( 1 - X - Y > 1 / 2 ) .

P 1 - X - Y > 1 2 = P X + Y < 1 2

= ∫ 0 1 / 2 ∫ 0 1 / 2 - x f ( x ,   y ) d y d x

= ∫ 0 1 / 2 ∫ 0 1 / 2 - x 24 x y d y d x

= ∫ 0 1 / 2 x ∫ 0 1 / 2 - x 24 y d y d x

= ∫ 0 1 / 2 x 12 y 2 0 1 / 2 - x d x

= ∫ 0 1 / 2 x 12 1 2 - x 2 d x

= ∫ 0 1 / 2 ( 3 x - 12 x 2 + 12 x 3 ) d x

= 3 x 2 2 - 4 x 3 + 3 x 4 0 1 / 2

= 3 2 1 2 2 - 4 1 2 3 + 3 1 2 4

P 1 - X - Y > 1 2 = 1 16

Passo 3

Usando a fórmula da função da densidade marginal que definimos no Passo 1.

g x = ∫ - ∞ ∞ f ( x , y ) d y

= ∫ 0 1 - x 24 x y d y

= 24 x y 2 2 0 1 - x

= 24 x 1 - x 2 2

                                      g x = 12 x 1 - x 2 ,               0 ≤ x ≤ 1

Passo 4

Por fim, para definirmos a probabilidade de que o peso dos caramelos em uma caixa seja menor que 1/8 de quilograma, se sabemos que os cremes constituem 3/4 do peso. Precisamos usar distribuição condicional, e a probabilidade de interesse é P ( Y < 1 / 8 | X = 3 / 4 )

P Y < 1 8 X = 3 4 = P 0 < Y < 1 8 X = 3 4

= ∫ 0 1 / 8 f y 3 4 d y

= ∫ 0 1 / 8 f 3 4 , y g 3 4 d y

= ∫ 0 1 / 8 24 3 4 y 12 ∙ 3 4 1 - 3 4 2 d y

= ∫ 0 1 / 8 18 y 9 1 4 2 d y

= 32 y 2 2 0 1 / 8

P Y < 1 8 X = 3 4 = 1 4

Resposta

(a) 1 / 16

(b) 12 x 1 - x 2

(c) 1 / 4

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