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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 40

Uma loja de bebidas particular opera com as facilidades de drive-in (comprar sem a necessidade de descer do carro) e walk-in (o cliente entra na loja). Em um dia, selecionado aleatoriamente, sejam X e Y respectivamente, as proporções do tempo em que as facilidades de drive-in e walk-in estão em uso, e suponha que a função densidade conjunta dessas variáveis aleatórias seja

f x , y = 2 3 x + 2 y ,           0 ≤ x ≤ 1 ,       0 ≤ y ≤ 1 0 ,                                                                             c a s o   c o n t r á r i o

(a) Determine a densidade marginal de X .

(b) Determine a densidade marginal de Y .

(c) Determine a probabilidade de que o sistema drive-in esteja ocupado durante menos da metade do tempo.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Como X e Y são duas variáveis aleatórias contínuas. A função de densidade de probabilidade conjunta f ( x ,   y ) é uma função não negativa e para qual:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d x d y = 1

Para cada conjunta A adequado vale o seguinte:

P X ,   Y ∈ A = ∫ ∫ A f ( x ,   y ) d x d y

A função de densidade de probabilidade marginal da variável aleatória contínua X é:

f X x = ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d y ,       - ∞ < x < ∞

Para Y a função de densidade de probabilidade marginal é:

f Y y = ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d x ,       - ∞ < y < ∞

Então, bora finalizar a questão!!!

Passo 2

Como definimos no Passo 1, a função de densidade de probabilidade marginal é calculada da seguinte forma:

f X x = ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d y = ∫ 0 1 2 3 ( x + 2 y ) d y

= 2 3 x ∫ 0 1 d y + 4 3 ∫ 0 1 y d y

= 2 3 x y 0 1 + 4 3 y 2 2 0 1

= 2 3 x + 2 3

                                        f X x = 2 3 x + 1 ,                 0 ≤ x ≤ 1

Passo 3

De forma similar a letra (a), a função de densidade de probabilidade marginal de Y é:

f Y y = ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d x = ∫ 0 1 2 3 ( x + 2 y ) d x

= 2 3 ∫ 0 1 x d x + 4 3 y ∫ 0 1 d x

= 2 3 x 2 2 0 1 + 4 3 y x ​ 0 1

= 1 3 + 4 3 y

                                        f Y y = 1 3 1 + 4 y ,             0 ≤ y ≤ 1

Passo 4

O evento que o enunciado nos pede é { X < 1 / 2 } . A probabilidade desse evento pode ser calculada usando a função de densidade de probabilidade conjunta ou a função de densidade marginal. O cálculo é o seguinte:

P ( X < 1 / 2 ) = ∫ 0 1 / 2 2 3 ( x + 1 ) d x

= 2 3 x 2 2 0 1 / 2 + 2 3 x ​ 0 1 / 2

= 1 12 + 4 12

P ( X < 1 / 2 ) = 5 12

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam X 1 ,X 2 , … , X n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Determine E X 1 X 1 + … + X n = x .
Mostre que:a) E (X Y,Y = y) = y . E ( X | Y = y ) .b) E [g (X , Y),Y = y] = E [g (X , y),Y = y] . c) E (X Y) = E [Y . E (X,Y)] .
Considere k bolas numeradas de 1ak distribuídas em duas urnas: u r n aI e u r n aI I . Sorteia-se ao acaso um número em { 1,2 , … , k } e transfere-se a bola cujo número foi sorteado para a outra urna
Referindo-se ao Exercício 3.39, determine(a) f( y| 2 ) para todos os valores de y.(b) P( Y = 0 |X = 2) .
Considere X e Y vida útil, em anos, de dois componentes em um sistema eletrônico. Se a função de densidade conjunta dessas variáveis é f x , y = e - ( x + y ) , x0 , y0 0 ,c a s oc o n t r á r i o á D