Enunciado

O crecimento de bebês, durante o primeiro mês de vida, pode ser modelado pela distribuição normal. Admite que, em média, um crescimento de 5 centímetros ou mais seja considerado satisfatório. Deseja-se verificar se o crescimento de bebês de famílias em um bairro da periferia de São Paulo acompanha o padrão esperado. Para tanto, recém nascidos na região foram sorteados e sua altura acompanhada, fornecendo as seguintes medidas de crescimento em centímetros:

5.03   ; 5.02   ; 4.95   ; 4,96   ; 5.01   ; 4.97   ; 4.90   ; 4.91   ; 4.90   e   4.93

  1. Que hipóteses estão sendo testadas?
  2. Qual é o estimador a ser utilizado para testar as hipóteses em (a) e qual é a sua distribuição?
  3. Se a região crítica contruída é t ∈ R : t ≤ - 3,87 ,   encontre o valor de α .
  4. Qual seria a conclusão?

  5. Qual seria a região crítica e a conclusão se α = 5 % .

Passo 1

Vamos lá então, estamos analisando a seguinte variável:

X = c r e s c i m e n t o   d u r a n t e   o   p r i m e i r o   m ê s   d e   u m   r e c é m   n a s c i d o   e m   c m .

Vimos que, pelo enunciado, X ~ N μ ; σ 2 portanto, X - ~ N μ ; σ 2 n sendo esse o estimador que usaremos para realizar o seguinte teste:

H 0 : μ ≥ 5 c m       c o n t r a         H 1 : μ < 5 c m

Pois se rejeitamos a hipótese nula consideramos o crescimento não satisfatório, de acordo com o o valor admito pelo enunciado.

Como não fomos informados sobre a variância populacional, vamos ter de usar a variância amostral; vamos calcular ela e a média:

X - = ∑ i = 1 10 x i n = 4,9 58 c m

E

S 2 = ∑ i = 1 10 x i 2 - n X - 2 n - 1 = 245,84 - 10 4,9 58 2 9 ≅ 0,0025 c m 2

Para realizar o teste teremos de usar a aproximação pela normal:

T = X - - μ S 2 n ~ t n - 1 ( t - s t u d e n t   c o m   n - 1   g r a u s   d e   l i b e r d a d e )

Passo 2

O enunciado nos deu a seguinte região crítica:

R C = t ∈ R : t ≤ - 3,87

E para obter o α , precisamos encontrar a chance de rejeitarmos a hipótese nula e ela ser verdadeira; ou seja:

α = P E r r o   I = P t 0 ∈ R C   H 0   é   v e r d a d e )  

Então:

P t ≤ - 3,87 = α

Para encontrar isso, basta lembrar que:

P ( T ≤ t ) = P T ≥ t = p 2

E Quando tivermos um limite UNILATERAL, que é exatamento nosso caso:

p 2 = α → p = 2 α

Portanto ao procurarmos na tabela pelo valor 3,87 vamos obter a coluna que representa esse p ; lembrando que devemos fazer isso olhando na linha de 9 graus de liberdade:

Note que teremos que fazer uma interpolação (as vezes sua tabela até possui esse valor; aí não será necessário fazer isso):

Passo 3

Dando uma relembrada no processo:

0,5 - 0,2 3,690 - 4,297 = 0,5 - p 3,690 - 3,87

Isolando p :

p ≅ 0,411 %

Mas calma lá!! Esse é o valor de p , queremos α :

p = 2 α → α = 0,2055 %

Agora, vamos realizar o teste sob H 0 :

t 0 = 4,958 - 5 0,0025 10 = - 2,6563

Portanto, para α = 0,2055 % , t 0 não pertence à RC, então aceitamos H 0 .

Last, but not least...queremos relizar o teste agora, com α = 5 %

Teremos a seguinte região crítica:

R C = t 0 < t 0,05

Devemos buscar mais uma vez na tabela, dessa vez um valor para o qual:

P ( t < t 0,05 ) = P t > t 0,05 = α = 5 %

Mas se você pegou o “taime”, a tabela só mostra p então deveremos buscar na coluna de 10 % .

Encontramo:

P T < - 1,833 = 10 % = p

Portanto a região crítica assume a seguinte forma:

R C = t 0 < - 1,833

Como já fizemos o teste sob H 0 , e obtivemos t 0 = - 2,6563 , para esse nível de significância devemos rejeitar a hipótese nula, pois t 0 ∈ R C .

Resposta

  1. H 0 : μ ≥ 5 c m       c o n t r a         H 1 : μ < 5 c m
  2. X - ~ N μ ; σ 2 n
  3. α = 0,2055 % , existem evidências que confirmam que o crescimento médio dos recém nascidos em seu primeiro mês de vida em um bairro de São Paulo é satisfatório.
  4. Para α = 5 % não consideramos o crescimento como satisfatório, pois existem evidências de que o crescimento no primeiro mês seja menor do que 5cm.
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