Enunciado
Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 8.6 - Ex. 23
O crecimento de bebês, durante o primeiro mês de vida, pode ser modelado pela distribuição normal. Admite que, em média, um crescimento de 5 centímetros ou mais seja considerado satisfatório. Deseja-se verificar se o crescimento de bebês de famílias em um bairro da periferia de São Paulo acompanha o padrão esperado. Para tanto, recém nascidos na região foram sorteados e sua altura acompanhada, fornecendo as seguintes medidas de crescimento em centímetros:
- Que hipóteses estão sendo testadas?
- Qual é o estimador a ser utilizado para testar as hipóteses em (a) e qual é a sua distribuição?
- Se a região crítica contruída é encontre o valor de .
- Qual seria a região crítica e a conclusão se .
Qual seria a conclusão?
Passo 1
Vamos lá então, estamos analisando a seguinte variável:
Vimos que, pelo enunciado, portanto, sendo esse o estimador que usaremos para realizar o seguinte teste:
Pois se rejeitamos a hipótese nula consideramos o crescimento não satisfatório, de acordo com o o valor admito pelo enunciado.
Como não fomos informados sobre a variância populacional, vamos ter de usar a variância amostral; vamos calcular ela e a média:
E
Para realizar o teste teremos de usar a aproximação pela normal:
Passo 2
O enunciado nos deu a seguinte região crítica:
E para obter o precisamos encontrar a chance de rejeitarmos a hipótese nula e ela ser verdadeira; ou seja:
Então:
Para encontrar isso, basta lembrar que:
E Quando tivermos um limite UNILATERAL, que é exatamento nosso caso:
Portanto ao procurarmos na tabela pelo valor 3,87 vamos obter a coluna que representa esse ; lembrando que devemos fazer isso olhando na linha de 9 graus de liberdade:
Note que teremos que fazer uma interpolação (as vezes sua tabela até possui esse valor; aí não será necessário fazer isso):
Passo 3
Dando uma relembrada no processo:
Isolando :
Mas calma lá!! Esse é o valor de , queremos :
Agora, vamos realizar o teste sob
Portanto, para , não pertence à RC, então aceitamos
Last, but not least...queremos relizar o teste agora, com
Teremos a seguinte região crítica:
Devemos buscar mais uma vez na tabela, dessa vez um valor para o qual:
Mas se você pegou o “taime”, a tabela só mostra então deveremos buscar na coluna de .
Encontramo:
Portanto a região crítica assume a seguinte forma:
Como já fizemos o teste sob , e obtivemos , para esse nível de significância devemos rejeitar a hipótese nula, pois .
Resposta
- , existem evidências que confirmam que o crescimento médio dos recém nascidos em seu primeiro mês de vida em um bairro de São Paulo é satisfatório.
- Para não consideramos o crescimento como satisfatório, pois existem evidências de que o crescimento no primeiro mês seja menor do que 5cm.