Seja calcule:
(e) O valor esperado de , sabendo que
Passo 1
Bom, primeiro de tudo vamos novamente retomar nossa função densidade de probabilidade:
E lembrando sempre que o valor esperado para uma variável é dado por:
Então, podemos dizer o seguinte usando uma propriedade do valor esperado, teremos:
Então só precisamos calcular
Passo 2
Vamos lá então:
Podemos abrir isso em alguns intervalos:
Sabe os que para , então:
Resolvendo essa integral por partes:
Agora, lembrando daquele diaxo de formula para integral por partes:
Substituindo:
Passo 3
Resolvendo , perceba que é fácil resolver chamando
Chegamos no seguinte:
Então, na formula:
Agora, lembre-se sempre de que:
E Portanto,
Retornando em :
Resposta
Portanto o valor esperado de