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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 20e

Seja X ~ E x p 1 10 ,   calcule:

(e) O valor esperado de Y , sabendo que Y = 3 X + 2 .

Passo 1

Bom, primeiro de tudo vamos novamente retomar nossa função densidade de probabilidade:

f x = 1 10 e - x 10 ,             x ≥ 0     0 ,           c a s o   c o n t r á r i o

E lembrando sempre que o valor esperado para uma variável é dado por:

E X = ∫ - ∞ + ∞ x   f x d x

Então, podemos dizer o seguinte usando uma propriedade do valor esperado, teremos:

E ( Y ) = E 3 X + 2 = 3 E X + 2

Então só precisamos calcular E ( X )

Passo 2

Vamos lá então:

E X = ∫ - ∞ + ∞ x 1 10 e - x 10 d x

Podemos abrir isso em alguns intervalos:

E X = ∫ - ∞ 0 x 1 10 e - x 10 d x + ∫ 0 + ∞ x 1 10 e - x 10 d x

Sabe os que para x < 0 → f x = 0 , então:

E X = ∫ 0 + ∞ x 1 10 e - x 10 d x

Resolvendo essa integral por partes:

u = x d u = d x d v = e - x 10 10 d x v = - e - x 10

Agora, lembrando daquele diaxo de formula para integral por partes:

u . v - ∫ v   d u

Substituindo:

E X = - x e - x 10 + ∞ 0 - ∫ 0 + ∞ - e - x 10 d x ⏟ I 1

Passo 3

Resolvendo I 1 , perceba que é fácil resolver chamando t = - x 10

Chegamos no seguinte:

I 1 = ∫ 0 + ∞ - e - x 10 d x = 10 e - x 10 + ∞ 0

Então, na formula:

E X = - x e - x 10 + ∞ 0 - 10 e - x 10 + ∞ 0

Agora, lembre-se sempre de que:

lim x → + ∞ ⁡ e - x = lim x → + ∞ ⁡ 1 e x = 1 ∞ = 0

E Portanto,

E X = 10

Retornando em Y = 3 E X + 2 :

E Y = E 3 X + 2 = 3 E X + 2 = 32

Resposta

Portanto o valor esperado de Y = 3 X + 2 = 32

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