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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 40

Determine a covariância e a correlçao para a função densidade de probabilidade conjunta para a faixa de 0 < x e 0 < y .

Passo 1

Dado f X Y ( x , y ) = c para 0 < x < 5 ,   0 < y e temos que x - 1 < y < x + 1

Os limites são:

y > 0 é aplicável quando 0 < x < 1 por causa da restrição x - 1 < y < x + 1 .

x - 1 < y < x + 1 é aplicável quando 1 < x < 5 devido à restrição y > 0 .

Uma função de densidade válida deve seguir:

∫ x ∫ y f ( x , y ) d x d y = 1

Vamos encontrar o valor de c:

∫ 0 1 ∫ 0 x + 1 c d y d x + ∫ 1 5 ∫ x - 1 x + 1 c d y d x = 1

c ∫ 0 1 ( x + 1 ) d x + c ∫ 1 5 ( x + 1 - x + 1 ) d x = 1

c [ x 2 2 + x ] 1 0 + c [ 2 x ] 5 0 = 1

3 c 2 + 8 c = 1

3 c + 16 c = 2

c = 2 19

Passo 2

Vamos encontrar a covariância:

E ( X ) = 2 19 ∫ 0 1 ∫ 0 x + 1 x d y d x + 2 19 ∫ 1 5 ∫ x - 1 x + 1 x   d y d x

= 2.614

E ( Y ) = 2 19 ∫ 0 1 ∫ 0 x + 1 y d y d x + 2 19 ∫ 1 5 ∫ x - 1 x + 1 y d y d x = 2.6491

E ( X Y ) = 2 19 [ ∫ 0 1 ∫ 0 x + 1 x y d y d x + ∫ 1 5 ∫ x - 1 x + 1 x y d y d x ] = 2 19 [ ∫ 0 1 x [ y 2 2 ] x + 1 0 d x + ∫ 1 5 x [ y 2 2 ] x + 1 x - 1 d x = 8.7763

Portanto, a covariância é:

C o v ( X , Y ) = 1.8518

Passo 3

Agora, vamos encontrar a correlação.

E ( X 2 ) = 2 19 ∫ 0 1 ∫ 0 x + 1 x 2 d y d x + 2 19 ∫ 1 5 ∫ x - 1 x + 1 x 2 d y d x = 8.7632

V ( X ) = E ( X 2 ) - E ( X ) 2 = 1.930

E ( Y 2 ) = 2 19 ∫ 0 1 ∫ 0 x + 1 y 2 d y d x + 2 19 ∫ x - 1 5 ∫ 1 x + 1 y 2 d y d x

= 9.1140

V ( Y ) = E ( Y 2 ) - E ( Y ) 2 = 2.0968

Então, a correlação é:

C o r r ( x , y ) = C o v ( X , Y ) V ( X ) V ( Y ) = 0.9205

Resposta

c = 2 19

C o v ( x , y ) = 1.8518

C o r r ( x , y ) = 0.9205

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