Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 41
Determine a covariância e a correlação para a função densidade de probabilidade conjunta para a faixa de e .
Passo 1
A definição da covariância entre as variáveis aleatórias X e Y é
A correlação entre as variáveis aleatórias X e Y é definida como:
onde é a variância da variável aleatória X definida como:
Precisamos calcular tem maneiras diferentes de fazer isso quando temos a função de densidade conjunta.
Uma vez que as variáveis aleatórias que recebemos são contínuas, porque nós temos função de densidade conjunta que é uma função contínua, calculamos a expectativa como:
onde denotamos como função de densidade marginal da variável aleatória X e como função de densidade marginal da variável aleatória Y.
Calculamos as funções de densidade marginal como:
Passo 2
Conhecemos a função de densidade conjunta:
O que significa que podemos calcular tudo o que precisamos. Começando para :
Finalmente,
Analogamente,
onde, obviamente, nós apenas substituímos x com y acima.
Vamos calcular as expectativas agora.
Usando integração por partes:
Passo 3
Para calcular observe que é uma variável aleatória contínua e que pode ser escrito como , sabemos que
Então,
De modo similar:
Para calcular , observe que é uma variável aleatória contínua e que pode ser escrito como nós sabemos que:
Passo 4
Usando isso, temos:
As variâncias serão,
Finalmente, o seguinte é válido:
e,
Não tivemos que calcular as variâncias, mas normalmente você terá que fazer.
Uma vez que o seguinte é válido:
então, para cada , duas variáveis aleatórias X e Y são independentes, o que implica que a covariância e a correlação são 0. Isso é válido porque:
onde é válido se X e Y forem independentes. Existem mais soluções para este problema.
Resposta
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