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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 6

O prazo de validade, em dias, para frascos de certo medicamento prescrito é uma variável aleatória que tem como função de densidade

f x = 20000 x + 100 3 ,                                 x > 0 0 ,                                   c a s o   c o n t r á r i o

Determine a probabilidade de que um frasco do medicamento tenha prazo de validade de

(a) pelo menos 200 dias;

(b) qualquer valor entre 80 e 120 dias.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para calcularmos a probabilidade de uma função de densidade de uma variável aleatória contínua, nós temos a seguinte fórmula:

P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f x d x

Usamos integral neste caso, pois, variáveis contínuas consideram os números irracionais. Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

A probabilidade que queremos encontrar é P ( X ≥ 200 ) , sabemos que essa probabilidade é o complemento de P ( X < 200 ) . Então, temos:

P X ≥ 200 = 1 - P ( X < 200 )

= 1 - ∫ x = 0 200 f ( x )

= 1 - ∫ x = 0 200 20000 x + 100 3 d x

= 1 - - 10000 x + 100 2 0 200

= 1 + 10000 200 + 100 2 - 10000 0 + 100 2

= 1 + 10000 90000 - 1

P X ≥ 200 = 1 9

Sendo assim, a probabilidade de que o prazo de validade seja de pelo menos 200 dias é 1 / 9 .

Passo 3

Aqui, a probabilidade de interesse é P ( 80 ≤ X ≤ 120 ) . Essa probabilidade é definida por:

P 80 ≤ X ≤ 120 = P X ≤ 120 - P ( X < 80 )

= ∫ x = 0 120 f ( x ) - ∫ x = 0 80 f ( x )

= ∫ x = 80 120 f ( x )

= ∫ x = 80 120 20000 x + 100 3 d x

= - 10000 x + 100 2 80 120

= - 10000 220 2 - - 10000 180 2

P 80 ≤ X ≤ 120 = 0,102

Portanto, a probabilidade de o prazo de validade estar entre 80 e 120 dias é 0,102 .

Resposta

a) 1 / 9

b) 0,102

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