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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 112

Dados provenientes de www.centralhudsonlab.com Determinar o que o número médio de fragmentos de insetos em uma barra de 225 g de chocolate foi igual a 14,4, porém três marcas apresentaram contaminação por inseto maior do que duas vezes a média. Veja U.S. food and drug administration center for food safety and applied nutrition for defect action levels (Centro Americano de administração para alimentos e drogas para a segurança alimentar e Nutrição aplicada para níveis de ação de falha) para produtos alimentícios. Considere que o número de fragmentos (contaminantes) segue a distribuição de Poisson.

  1. Se você consumir uma barra de 225 g de uma marca com o nível médio de contaminação, qual será a probabilidade de não ter contaminantes de por insetos?
  2. Suponha que você consuma barra que tem 1/5 do tamanho testado (45 g) de uma marca com o nível médio de contaminação. Qual é a probabilidade de não ter contaminante por inseto?
  3. Se você consumir sete barras de 28.35 g essa semana, de uma marca com o nível médio de contaminação, qual será a probabilidade de você consumir um ou mais fragmentos de inseto em mais de uma barra?
  4. a probabilidade de um resultado de um teste ser maior do que duas vezes a média de 14.4 não é usual ou pode ser considerada uma variação típica? Explique.

Passo 1

Seja X a variável aleatória de Poisson com a média igual a E ( X ) = λ T . A função de massa de probabilidade de X:

f ( k ) = P ( X = k ) = ( λ T ) k e - λ T k ! ,   k ∈ N 0

Se a média for 14.4 fragmentos de inseto por barra de chocolate de 225 gramas, nós podemos definir o parâmetro λ   :

λ = 14.4   i n s e t o s / 225   g r a m a s

e medimos T em unidades de barra de chocolate de 225 gramas. Nós empregamos a fórmula, substituindo o T apropriado para o problema dado.

Passo 2

Letra a:

Defina T = 1 e calcule usando a expressão acima:

P ( X = 0 ) = f ( 0 ) = 5.57 × 1 0 - 7

Passo 3

Letra b:

Defina T = 0.2 (um quinto da barra de chocolate de 225 gramas!) e calcule usando a expressão acima:

P ( X = 0 ) = f ( 0 ) = e - 14.4 × 0.2 = 0.056

Passo 4

Letra c:

Defina T = 28.35 225 (um quinto da barra de chocolate de 225 gramas!) e calcule usando a expressão acima:

P ( X ≥ 1 ) = 1 - f ( 0 ) = 0.837

Esta é a probabilidade de consumir um ou mais fragmentos de inseto em uma barra única. Apresente a variável aleatória binomial Y com os parâmetros n = 7 ,   p = P ( X ≥ 1 ) . Agora é fácil calcular:

P ( Y > 1 ) = 1 - P ( Y = 0 ) - P ( Y - 1 ) = 0.999887

Passo 5

Letra d:

É incomum, porque o desvio padrão é

14.4 ≈ 3.79

fragmentos de insetos por barra de chocolate de 225 gramas, e o intervalo de tamanho 3.79 em torno da média de 14.4 ainda está muito longe de 2 × 14.4 = 28

Resposta

  1. 5.57 × 1 0 - 7
  2. 0.056
  3. 0.999887
  4. Incomum
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