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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 96

Deduza as expressões para a variância de uma variável aleatória geométrica, com parâmetro p . (Fórmulas para série infinita são requeridas).

Passo 1

Opa, tudo bem?

Bora resolver essa questão comigo?

Vamos lá!

Vamos deduzir nossa primeira expressão:

E x = ∑ x = 1 ∞ x 1 - p x - 1 p

Sendo:

q = 1 - p

Temos que:

E x = p ∑ x = 1 ∞ x q x - 1 = p d d q ∑ x = 0 ∞ q x - 1

Abrindo isso:

E x = p d d q 1 1 - q

Derivando:

E x = p 1 - q 2

Voltando q , temos:

E x = p p 2

Assim:

E x = 1 p

Passo 2

Para a segunda expressão temos:

V x = ∑ x = 1 ∞ x - 1 p 2 1 - p x - 1 p

Abrindo essa equação:

V x = ∑ x = 1 ∞ p x 2 - 2 x + 1 p 1 - p x - 1

Sendo:

q = 1 - p

Temos que:

V x = p ∑ x = 1 ∞ x 2 q x - 1 - 2 ∑ x = 1 ∞ x q x - 1 + 1 p ∑ x = 1 ∞ q x - 1

V x = p ∑ x = 1 ∞ x 2 q x - 1 - 2 p 2 + 1 p 2

V x = p ∑ x = 1 ∞ x 2 q x - 1 - 1 p 2

V x = p d d q q + 2 q 2 + 3 q 3 + … - 1 p 2

V x = p d d q q 1 + 2 q + 3 q 2 + … - 1 p 2

V x = p d d q q 1 - q 2 - 1 p 2

Derivando:

V x = 2 p q 1 - q - 3 + p 1 - q - 2 - 1 p 2

Voltando q :

V x = 2 1 - p + p - 1 p 2

V x = 1 - p p 2

Te espero na próxima questão!

Resposta

E x = 1 p

V x = 1 - p p 2

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