Enunciado

Deduza os resultados de convergência usados para obter uma distribuição de Poisson como limite de uma distribuição binomial.

Passo 1

Vamos relembrar os resultados e ver que nós precisamos mostrar o seguinte:

l i m n → ∞ C n x ( 1 n ) x = 1 x !

l i m n → ∞ ( 1 - λ T n ) n = e - λ T  

Vamos lembrar que segunda equação segue diretamente das propriedades de funções exponenciais. Mais precisamente, vamos lembrar que uma função exponencial é definida como:

e x = l i m n → ∞ ( 1 + x n ) n

Passo 2

Por outro lado, vamos calcular o seguinte:

C n x ( 1 n ) x = n ! x ! ( n - x ) ! × 1 n x = 1 x ! × n ( n - 1 ) . . . ( n - x + 1 ) n x

Vamos fazer n tender para o infinito para então obter o seguinte:

l i m n → ∞   C n x ( 1 n ) x = l i m n → ∞   1 x ! n n n - 1 n . . . × n - x + 1 n =

= 1 x !

Resposta

Vamos usar a definição de coeficiente binomial e as propriedades básicas de limites. Além disso, vamos relembrar a definição de limites de uma função exponencial e x = l i m n ( 1 + x / n ) n

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