Enunciado

Demonstre que:

P ( E ∪ F ∪ G ) = P ( E ) + P   ( F ) + P   ( G ) - P ( E c F G ) - P   ( E F c G ) - P   ( E F G c ) - 2 P ( E F G ) ​ .

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Iremos provar que:

P ( E ∪ F ∪ G ) = P ( E ) + P   ( F ) + P   ( G ) - P ( E c F G ) - P   ( E F c G ) - P   ( E F G c ) - 2 P ( E F G ) ​

A prova será semelhante à prova da Proposição 4.4. na observação.

Se o resultado do espaço de resultados não estiver em E   o u   F   o u   G então sua probabilidade não contribui para P E ∪ F ∪ G   nem a qualquer probabilidade à esquerda.

Se o resultado do espaço de resultados estiver em E ∪ F ∪ G é em um, dois ou todos os três eventos E , F   o u   G . Em cada um destes casos é contado uma vez no lado esquerdo.

Se for precisamente em um dos eventos E , F , G é contado apenas uma vez e isso está em um dos três primeiros apêndices do lado direito.

Se for precisamente em dois dos eventos E , F , G é contado duas vezes nos três primeiros adendos, e -1 vezes em um dos três segundos adendos, e 0 vezes em P ( E F G ) . Ou seja, é contado uma vez no lado direito.

Se for em todos os três eventos E , F , G é contado três vezes nas três primeiras adições do lado direito, zero vezes nas três segundas adições (por não ser membro de nenhum dos eventos) e   - 2 vezes em P ( E F G ) , então precisamente uma vez no lado direito.

Isso prova a afirmação.

Resposta

Veja solução.

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