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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 19

Demonstre que, se A e B forem eventos independentes, também o serão A e B - , A - e B , A - e B - .

Passo 1

Para que dois eventos sejam independentes, a seguinte condição deve ser satisfeita:

P A   e   B = P A   P B

Estou usando a notação simplificada P A ∩ B = P A   e   B .

Da definição de probabilidade complementar, temos que

P A - = 1 - P A

P B - = 1 - P B

Vamos tentar verificar se A e B - são independentes. Para isso, abrimos a expressão usando probabilidade condicional:

P A   e   B - = P B -     A ) ⋅ P ( A )

Lembramos também que

P B     A ) + P B -     A ) = 1 → P B -     A ) = 1 - P B     A )

Logo,

P A   e   B - = P A   ( 1 - P B     A ) )

Por outro lado, como A e B são independentes:

P B     A ) = P B

Assim,

P A   e   B - = P A 1 - P B

Por fim, como 1 - P B = P B - , temos que

P A   e   B - = P A P B -

Desta forma, vemos que A e B - são independentes!

Passo 2

Vamos olhar agora para A - e B : a demonstração é igual a anterior, trocando A por B :

P B   e   A - = P A -     B ) ⋅ P B = P B   ( 1 - P A     B ) )

Como A e B são independentes, temos que P A     B ) = P ( A ) :

P B   e   A - = P B 1 - P A

Logo,

P B   e   A - = P B ⋅ P A -

Com isso, vemos que os eventos são independentes!

Passo 3

Para terminar o problema, vamos considerar A - e B - :

P A -   e   B - = P A -   P B -     A - ) = P A -   ( 1 - P B     A - ) )

Mas já provamos que B e A - são independentes, de modo que

P B     A - ) = P B

Logo,

P A -   e   B - = P A -   1 - P B

Como 1 - P B = P B - , temos que

P A -   e   B - = P A -   P B -

Portanto, os eventos são independentes!

Resposta

t o t a l = 2 n - n - 1

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