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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 33

Quatro sinais de rádio são emitidos sucessivamente. Se a recepção de cada um for independente da recepção de outro, e se essas probabilidades forem 0,1 ; 0,2 ; 0,3 e 0,4 , respectivamente, calcule a probabilidade de que k sinais venham a ser recebidos para k = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 .

Passo 1

Para que o sinal 1 seja recebido, a probabilidade é

p 1 = 0,1

Já a probabilidade de ele não ser recebido é

1 - p 1 = 0,9

Seguindo a mesma lógica para os demais:

p 2 = 0,2 → 1 - p 2 = 0,8

p 3 = 0,3 → 1 - p 3 = 0,7

p 4 = 0,4 → 1 - p 3 = 0,6

No caso com k = 0 , nenhum sinal é recebido, de modo que basta multiplicar as probabilidades de não receber cada um dos sinais:

P k = 0 = 1 - p 1 1 - p 2 1 - p 3 1 - p 4 = 0,9 ⋅ 0,8 ⋅ 0,7 ⋅ 0,6

Logo,

P k = 0 = 0,3024

Passo 2

Para o caso com k = 1 , um sinal deve ser recebido e os outros não. Isso pode acontecer de 4 formas diferentes, dependendo de

P k = 1 = p 1 1 - p 2 1 - p 3 1 - p 4 + 1 - p 1 p 2 1 - p 3 1 - p 4 + 1 - p 1 1 - p 2 1 - p 3 p 4

Note que em cada caso temos um p i multiplicado pelos demais 1 - p i . Substituindo os números:

P k = 1 = 0,1 ⋅ 0,8 ⋅ 0,7 ⋅ 0,6 + 0,9 ⋅ 0,2 ⋅ 0,7 ⋅ 0,6 + 0,9 ⋅ 0,8 ⋅ 0,3 ⋅ 0,6 + 0,9 ⋅ 0,8 ⋅ 0,7 ⋅ 0,4

Fazendo as contas:

P k = 1 = 0,4404

Passo 3

Para k = 2 , temos 6 possibilidades de recepção: 1 e 2, 1 e 3, 1 e 4, 2 e 3, 2 e 4, 3 e 4. Assim,

P k = 2 = p 1 p 2 1 - p 3 1 - p 4 + p 1 1 - p 2 p 3 1 - p 4 + p 1 1 - p 2 1 - p 3 p 4 + 1 - p 1 p 2 p 3 1 - p 4 + 1 - p 1 p 2 1 - p 3 p 4 + 1 - p 1 1 - p 2 p 3 p 4

Logo,

P k = 2 = 0,1 ⋅ 0,2 ⋅ 0,7 ⋅ 0,6 + 0,1 ⋅ 0,8 ⋅ 0,3 ⋅ 0,6 + 0,1 ⋅ 0,8 ⋅ 0,7 ⋅ 0,4 + 0,9 ⋅ 0,2 ⋅ 0,3 ⋅ 0,6 + 0,9 ⋅ 0,2 ⋅ 0,7 ⋅ 0,4 + 0,9 ⋅ 0,8 ⋅ 0,3 ⋅ 0,4

Portanto,

P k = 2 = 0,2144

Passo 4

Já para k = 3 , temos quatro possibilidades que são determinadas pelo sinal que não é recebido:

P k = 3 = p 1 p 2 p 3 1 - p 4 + p 1 p 2 1 - p 3 p 4 + p 1 1 - p 2 p 3 p 4 + 1 - p 1 p 2 p 3 p 4

Portanto,

P k = 3 = 0,1 ⋅ 0,2 ⋅ 0,3 ⋅ 0,6 + 0,1 ⋅ 0,2 ⋅ 0,7 ⋅ 0,4 + 0,1 ⋅ 0,8 ⋅ 0,3 ⋅ 0,4 + 0,9 ⋅ 0,2 ⋅ 0,3 ⋅ 0,4

Fazendo as contas:

P k = 3 = 0,0404

Passo 5

Por fim, para k = 4 , os quatros sinais são recebidos:

P k = 4 = p 1 p 2 p 3 p 4 = 0,1 ⋅ 0,2 ⋅ 0,3 ⋅ 0,4

Logo,

P k = 4 = 0,0024

Resposta

P k = 0 = 0,3024

P k = 1 = 0,4404

P k = 2 = 0,2144

P k = 3 = 0,0404

P k = 4 = 0,0024

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