Enunciado

Demonstre diretamente que

P (E,F) = P (E,F G) P (G,F) + P (E,F G^c) P ( G^c | F )

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começando pelo lado direito, aplicando a definição da probabilidade condicional

P (E,F G) P (G,F) + P (E,F G^c) P (G^c,F) = (P (E F G))/(P (G F)) * (P (G F))/(P (F)) + (P (E F G^c))/(P (G^c F)) * (P (G^c F))/(P (F))

Com isso, nós temos

P (E,F G) P (G,F) + P (E,F G^c) P (G^c,F) = (P (E F G))/(P (F)) + (P (E F G^c))/(P (F)) = (P (E F))/(P (F))

Finalmente, temos o seguinte resultado

P (E,F G) P (G,F) + P (E,F G^c) P (G^c,F) = P ( E | F )

Passo 2

Seguindo o caminho contrário, nós temos que a fórmula da probabilidade total na probabilidade P_F = P ( E | F )

A única coisa a notar é

P_F (E,G) = (P_F (E G))/(P_F (G)) = (P (E G,F))/(P (G,F))

Portanto

P_F (E,G) = P ( E | F G )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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