a. Demonstre que outra expressāo para a estatística qui-quadrado é

χ 2 = ∑ i = 1 k   N i 2 n p n - n

Por que é́ mais eficiente calcular χ ' utilizando esta fórmula?

b. Quando a hipótese nula é H 0 : p 1 = p 2 = ⋯ = p k = 1 / k (ou seja, p a 0 = 1 / k para todo i ), como a fórmula da parte (a) pode ser simplificada? Utilize a expressāo simplificada para calcular χ 2 para os dados de direçāo dos pombos do Exercício 4 .

Passo 1

E aí pessoal partiu para mais uma questão de (probabilidade)? Abaixo começaremos trazendo algumas informações do enunciado:

Por que é́ mais eficiente calcular χ ' utilizando esta fórmula?

a. χ 2 = ∑ i = 1 k   n i - n p i 0 2 n p i 0 = ∑ i   N i 2 - 2 n p i 0 N i + n 2 p i 0 2 n p i 0 = ∑ i   N i 2 n p i 0 - 2 ∑ i   N i + n ∑ i   p i 0 = ∑ i   N i 2 n p i 0 - 2 n + n ( 1 ) = ∑ i   N i 2 n p i 0 - n como desejado. Esta fórmula envolve apenas uma subtração, e isso no final do cálculo, por isso é análoga à fórmula de atalho para s 2

Passo 2

Quando a hipótese nula é H 0 : p 1 = p 2 = ⋯ = p k = 1 / k (ou seja, p a 0 = 1 / k para todo i ), como a fórmula da parte (a) pode ser simplificada? Utilize a expressāo simplificada para calcular χ 2 para os dados de direçāo dos pombos do Exercício 4 .

b.   χ 2 = k n ∑ i   N i 2 - n . Para os dados dos pombos, k = 8 , n = 120 , e Σ N i 2 = 1872 , então χ 2 = 8 ( 1872 ) 120 - 1 20 = 124.8 - 120 = 4.8 como antes.

Resposta

a . no final do cálculo, por isso é análoga à fórmula de atalho para s 2

b. 4.8 como antes.

Espero que tenham aprendido com essa questão, até a próxima !

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