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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 17

Demostre o Teor. 14.3

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos o nosso valor esperado. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

Com essa estrutura de probabilidade, podemos arrumar para botar em função do primeiro valor da distribuição dela. Lembra como faz?? Não?? Vai lá na teoria que eu te esperoaqui...

Achou?? Então me diz aii...

P (K <= k) = 1 - P (K > k)

P (X > k) = F (k)

E (overset(-)(X)) = mu

E (S^2) = sigma ²

Com isso, podemos começar a pensar.

t = (Z)/(sqrt((V)/(K)))

Z tilde N (0,1)

V tilde chi_k^2

h_k (t) = (Gamma [(k + 1)/(2)])/(Gamma [(k)/(2)] sqrt(pi k)) (1 + (t^2)/(k))^(- (k + 1)/(2))

f_Z (z) = (1)/(sqrt(2 pi)) e^(- ((z^2)/(2)))

f_V (v) = ((v^((k)/(2) - 1) e^(- ((v)/(2)))))/(2^((k)/(2)) Gamma ((k)/(2)))

W = sqrt((V)/(k)) -> (d v)/(d w) = 2 k w

f_w (w) = (k^((1)/(2)) w^((k - 1)) e^(- (k w^2)/(2)))/(2^((k)/(2) - 1) Gamma ((k)/(2)))

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nossa distribuição!!

t = (Z)/(W)

h_k (t) = int f_Z (t w) f_W (w) |w| d w

h_K (t) = (Gamma [(k + 1)/(2)])/(Gamma [(k)/(2)] sqrt(pi k)) (1 + (t^2)/(k))^(- (k + 1)/(2))

Resposta

h_K (t) = (Gamma [(k + 1)/(2)])/(Gamma [(k)/(2)] sqrt(pi k)) (1 + (t^2)/(k))^(- (k + 1)/(2))

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