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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 81

Derive a função de densidade acumulada (fda)

para a distribuição Weibull. [Sugestão: Na definição de

uma fda, faça a transformação z = y fi.]

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos denotar que a distribuição de Weibull é dada por X ,

O p.d.f da distribuição de Weibull é dado por,

f ( x ; α , β ) = α β x β - 1 e - α x β , x > 0 , 0 ,   restante , 

Onde α > 0 e β > 0 .

Passo 2

A função de distribuição cumulativa da distribuição de Weibull é dada por,

F ( x ) = P ( X ≤ x )   = ∫ - ∞ x     f ( y ; α , β ) d y   = ∫ 0 x     f ( y ; α , β ) d y   = ∫ 0 x     α β y β - 1 e - α y ' ' d y

Agora, usamos a transformação z = y β . Derivação em ambos os lados, rendimentos

β y β - 1 d y = d z , 

Passo 3

Os novos limites para a integração são dados por, Se y = 0 ⇒ z = ( 0 ) β y = x ⇒ z = ( x ) β

  ∴ F ( x ) = ∫ 0 x s     α e - α z d z   = α e - α z - α 0 p β   = e - α z 0 p p   = e - α ( 0 ) - e - α x ' F ( x ) = 1 - e - α x '

Este é c.d.f de uma distribuição Weibull.

Resposta

Resposta nos passos.

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