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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 50

A variável aleatória contínua X tem uma distribuição beta com parâmetros α e β se sua função de densidade é dada por

f x = Γ α + β Γ α Γ β x α - 1 1 - x β - 1 ,               0 < x < 1 0 ,                                                                                         c a s o   c o n t r á r i o

onde α > 0 e β > 0 . Se a proporção de uma marca de televisores que necessitam de reparos durante o primeiro ano de uso é uma variável aleatória que tem distribuição beta com α = 3 e β = 2 , qual é a probabilidade de que pelo menos 80% dos novos modelos dessa marca

vendidos esse ano necessitarão de reparos durante seu primeiro ano de operação?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para calcularmos a probabilidade de que pelo menos 80% dos novos modelos precisem de manutenção, devemos calcular a integral abaixo:

P 0,8 < X < 1 = ∫ 0,8 1 f ( x ) d x

Onde f ( x ) é a função de densidade da distribuição beta com parâmetros α = 3 e β = 2 .

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Substituindo os valores do enunciado e a fórmula da distribuição gama, temos:

P 0,8 < X < 1 = ∫ 0,8 1 f ( x ) d x

= ∫ 0,8 1 120 2 1 x 3 - 1 1 - x 2 - 1 d x

= 60 ∫ 0,8 1 x 2 ( 1 - x ) d x

= 60 ∫ 0,8 1 ( x 2 - x 3 ) d x

= 60 x 3 3 - x 4 4 0,8 1

= 20 1 - 0,8 3 - 15 1 - 0,8 4

P 0,8 < X < 1 = 0,1848

Resposta

0 , 1848

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