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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 41

Use a função gama com y = sqrt(2 x) para mostrar que Gamma ( 1 // 2 ) = sqrt(pi) .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A função de densidade de uma variável com distribuição gama é:

f (x ; alpha , beta) = {[[(1)/(beta^(alpha) Gamma (alpha)) int_0^(oo) x^(alpha - 1) e^(- x // beta) d x , x > 0],[0 , c a s o c o n t r á r i o]])

E a distribuição gama é definida como:

Gamma (alpha) = int_0^(oo) x^(alpha - 1) e^(- x) d x

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Vamos definir u = sqrt(x) , logo, nós temos x = u^2 .

A partir da definição acima, temos que:

d x = 2 u d u

Então, juntando com a distribuição gama, ficamos com:

Gamma (alpha) = 2 int_0^(oo) u^(2 alpha - 1) e^(- u^2) d u

Se alpha = 1 // 2 , pela equação acima:

Gamma ((1)/(2)) = 2 int_0^(oo) x^(1 - 1) e^(- u^2) d u = 2 int_0^(oo) e^(- u^2) d u

Nos resta calcular a integral que encontramos.

[Gamma ((1)/(2))]^2 = [Gamma ((1)/(2))] [Gamma ((1)/(2))]

= [2 int_0^(oo) e^(- u^2) d u] [2 int_0^(oo) e^(- v^2) d v]

= 4 int_0^(oo) int_0^(oo) e^(- (u^2 + v^2)) d v d u

Agora, vamos definir a transformação da seguinte forma:

u = r c o s theta , v = r s e n theta

E os novos limites são 0 <= r <= oo e 0 <= theta <= pi // 2 .

Calculando o Jacobiano da transformação, temos:

|J| = |[[cos theta - r s e n theta],[s e n theta r c o s theta]]| = r c o s^2 theta + r s e n^2 theta = r

Portanto, voltando a integral:

[Gamma ((1)/(2))]^2 = 4 int_0^(oo) int_0^(oo) e^(- (u^2 + v^2)) d v d u

= 4 int_0^(pi // 2) int_0^(oo) e^(- r^2) r d r d theta

= 4 [int_0^(pi // 2) d theta] [int_0^(oo) e^(- r^2) r d r]

= 4 [(pi)/(2)] [- (1)/(2) int_0^(- oo) e^u d u]

= - pi [0 - 1]

[Gamma ((1)/(2))]^2 = pi

Sendo assim, como o enunciado nos pediu para mostrar:

Gamma ((1)/(2)) = sqrt(pi)

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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