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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 58

  1. Para n determinado, há valores de p (0 p 1) para os quais V(X) 0? Explique.
  2. Para que valor de p V(X) é maximizada? [Sugestão: faça o gráfico de V(X) em função de p ou calcule a derivada.]

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1. Proposição: Para uma variável aleatória binomial X com parâmetros n, p e q=1-p, o seguinte é verdadeiro

    2. E X = n p ;

    V X = n p 1 p = n p q ;

    σ X =   n p q

    Portanto, de

    V X = n p 1 - p

    podemos notar que V(X)=0 se p=0 ou se p=1.

    No primeiro caso, quando p=0, implica que todas as tentativas falham, então a variabilidade em X é zero.

    Quando p=1, temos o oposto, todas as tentativas são bem-sucedidas , então novamente não há variabilidade em X.

    Passo 2

  2. O método clássico para encontrar o valor máximo de uma função é encontrar uma derivada e igualá-la a zero, da qual você obtém o valor máximo (a segunda derivada tem que ser negativa para obter o máximo, se for positiva, você obtém o valor mínimo).

Como V(X) é uma função de p, o seguinte é verdadeiro

d d p V X = d d p n p 1 - p = d d p n p - n p 2

= n d d p p - n d d p p ²

= n 1 - n 2 p

= n 1 - 2 p

Desde

d d p n 1 - 2 p = - 2 n < 0 ´

o valor p para o qual

n 1 - 2 p = 0

É o valor máximo. Temos que

p = 1 2

Resposta

  1. p = 0   o u   p = 1
  2. O valor máximo é p = 0.5

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