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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 60

Demonstre que E(X) = np quando X é uma variável aleatória binomial. [Sugestão: primeiro expresse E(X) como uma soma com limite inferior x = 1. Depois fatore np, assumindo y = x - 1 de forma que a soma varie de y = 0 a y = n - 1 e mostre que a soma é igual a 1.]

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Existem muitas provas diferentes de E(X) = np, talvez a maneira mais fácil seja usando variável aleatória indicadora. Não vamos usá-lo, mas encorajo-vos a encontrar a prova e examiná-la.

Da dica dada no exercício, temos o seguinte

E X =   ∑ x = 0 n x ∙ n x p x 1 - p n - x =   ∑ x = 1 n x ∙ n x p x 1 - p n - x

= ∑ x = 1 n x ∙ n ! x ! n - x ! p x 1 - p n - x

= n p ∑ x = 1 n n ! x - 1 ) ! n - x ! p x - 1 1 - p n - x

= n p ∑ y = 0 n - 1 n - 1 ! y ! n - y - 1 ! p y 1 - p n - y - 1

= n p ∑ y = 0 n - 1 n - 1 y p y 1 - p n - y - 1

= n p ∙ 1

= n p ;

Passo 2

O Valor Esperado (valor médio) de uma variável aleatória discreta X com conjunto de valores possíveis S e pmf p(x) é

E X =   μ x =   ∑ x   ϵ   S x ∙ p ( x )

Resposta

E(X) = np

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