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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 61

Os clientes de um posto de gasolina pagam com cartão de crédito (A), cartão de débito (B) ou dinheiro (C). Assuma que clientes sucessivos façam escolhas independentes, com P(A) 0,5, P(B) 0,2 e P(C) 0,3.

a. Entre os próximos 100 clientes, qual será a média e a variância do número dos que pagam com cartão de débito? Explique seu raciocínio.

b. Responda à parte (a) para o número entre os 100 que não pagam em dinheiro.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Temos três eventos, A, B e C. Além disso, temos suas probabilidades.

  1. Sendo

    2. X = n ú m e r o   d e   c l i e n t e s   q u e   u s a m   c a r t ã o   d e   d é b i t o .  

    Obviamente, X tem Distribuição Binomial, os parâmetros são n=100 (clientes) e p=0.2 (probabilidade de cliente usar cartão de débito). Então, sucesso é que um cliente usa cartão de débito e falha é que ele não o usa (portanto, a probabilidade de falha é na verdade 0.5+0.3 =0.8). Então, nós o seguinte

    X   ~ B i n 100,0.2

    Precisamos determinar o valor esperado e a variância. Para isso, usaremos a seguinte proposição.

    Proposição: Para uma variável aleatória binomial X com parâmetros n, p e q=1-p, o seguinte é verdadeiro

    E X = n p ;

    V X = n p 1 - p = n p q ;

    σ X = n p q

    E X = n p = 100 ∙ 0.2 = 20 ;

    V X = n p q = 100 ∙ 0.2 ∙ 0.8 = 16

    Passo 2

  2. X = n ú m e r o   d e   c l i e n t e s   q u e   n ã o   u s a m   d i n h e i r o .

A variável aleatória X possui Distribuição Binomial com parâmetros n=100 e p=0.5+0.2=0.7 (a probabilidade do cliente usar cartão de crédito ou débito). Então, o sucesso aqui é que um cliente não paga com dinheiro.

O seguinte vale

E X = n p = 100 ∙ 0.7   = 70

E também a variância

V X = n p q = 100 ∙ 0.7 ∙ 0.3 = 21

Resposta

  1. E X = 20 ; V X = 16
  2. E X = 0   ; V X = 21

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