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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 1

Sabe-se que um cesto com 5 transistores contém 2 com defeito. Os transistores devem ser testados, um de cada vez, até que os defeituosos sejam identificados. Suponha que N 1 represente o número de testes feitos até que o primeiro transistor defeituoso seja identificado e N 2 o número de testes adicionais feitos até que o segundo transistor defeituoso seja identificado. Determine a função de probabilidade conjunta de N 1   e   N 2 .

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Antes, vamos destacar aqui as informações dadas pelo enunciado:

N 1 → n ú m e r o   d e   t e s t e s   a t é   q u e   o   p r i m e i r o   t r a n s i s t o r   d e f e i t u o s o   s e j a   i d e n t i f i c a d o

N 2 → n ú m e r o   d e   t e s t e s   a t é   q u e   o   s e g u n d o   t r a n s i s t o r   d e f e i t u o s o   s e j a   i d e n t i f i c a d o

Com isso, a probabilidade de identificarmos os defeituosos na primeira tentativa vai ser:

P N 1 = 1 = 2 5

Como os transistores não substituídos, somente removidos, a probabilidade de sucesso muda conforme a gente vá testando.

E aqui nós temos que analisar todas as possibilidades que existem.

Passo 2

Vamos lá. Primeira possibilidade:

T r a n s i s t o r   1 → P r i m e i r a   t e n t a t i v a   ( N 1 = 1 )

T r a n s i s t o r   2 → S e g u n d a   t e n t a t i v a   ( N 2 = 1 )

Lembrando que como nós já identificamos o primeiro defeituoso na primeira tentativa, sobram 4 resistores. Como identificamos o segundo defeituoso na segunda tentativa geral, ela acaba sendo na primeira tentativa dos 4 que sobraram, por isso N 2 = 1 .

Calculando:

P N 1 = 1 ∩ N 2 = 2 = 2 5 × 1 4

P N 1 = 1 ∩ N 2 = 2 = 2 5 × 1 4 = 1 10

Passo 3

Vamos lá. Segunda possibilidade:

T r a n s i s t o r   1 → P r i m e i r a   t e n t a t i v a   ( N 1 = 1 )

T r a n s i s t o r   2 → T e r c e i r a   t e n t a t i v a   ( N 2 = 2 )

Nesse caso, quando nós tentamos achar o segundo transistor defeituoso na segunda tentativa nós não conseguimos, então a chance a probabilidade da gente não identificar o defeituoso na segunda tentativa vai ser 1 - 1 4 , ok?

E como nós achamos só na terceira tentativa, nós só vamos ter 3 resistores faltando, ficando 1 3 a probabilidade de encontrar.

Calculando:

P N 1 = 1 ∩ N 2 = 2 = 2 5 × 1 - 1 4 × 1 3

P N 1 = 1 ∩ N 2 = 2 = 2 5 × 3 4 × 1 3 = 1 10

Passo 4

Vamos lá. Terceira possibilidade:

T r a n s i s t o r   1 → P r i m e i r a   t e n t a t i v a   ( N 1 = 1 )

T r a n s i s t o r   2 → Q u a r t a   t e n t a t i v a   ( N 2 = 3 )

Calculando:

P N 1 = 1 ∩ N 2 = 3 = 2 5 × 1 - 1 4 × 1 - 1 3 × 1 2

P N 1 = 1 ∩ N 2 = 3 = 2 5 × 3 4 × 2 3 × 1 2 = 1 10

Passo 5

Vamos lá. Quarta possibilidade:

T r a n s i s t o r   1 → P r i m e i r a   t e n t a t i v a   ( N 1 = 1 )

T r a n s i s t o r   2 → Q u i n t a   t e n t a t i v a   ( N 2 = 4 )

Calculando:

P N 1 = 1 ∩ N 2 = 3 = 2 5 × 1 - 1 4 × 1 - 1 3 × 1 - 1 2 × 1 1

P N 1 = 1 ∩ N 2 = 3 = 2 5 × 3 4 × 2 3 × 1 2 × 1 1 = 1 10

Passo 6

Vamos lá. Quinta possibilidade:

T r a n s i s t o r   1 → S e g u n d a   t e n t a t i v a   ( N 1 = 2 )

T r a n s i s t o r   2 → T e r c e i r a   t e n t a t i v a   ( N 2 = 1 )

Calculando:

P N 1 = 2 ∩ N 2 = 1 = 1 - 2 5 × 2 4 × 1 3

P N 1 = 2 ∩ N 2 = 1 = 3 5 × 2 4 × 1 3 = 1 10

Passo 7

Vamos lá. Sexta possibilidade:

T r a n s i s t o r   1 → S e g u n d a   t e n t a t i v a   ( N 1 = 2 )

T r a n s i s t o r   2 → T e r c e i r a   t e n t a t i v a   ( N 2 = 2 )

Calculando:

P N 1 = 2 ∩ N 2 = 2 = 1 - 2 5 × 2 4 × 1 - 1 3 × 1 2

P N 1 = 2 ∩ N 2 = 2 = 3 5 × 2 4 × 2 3 × 1 2 = 1 10

Passo 8

Vamos lá. Sétima possibilidade:

T r a n s i s t o r   1 → S e g u n d a   t e n t a t i v a   ( N 1 = 2 )

T r a n s i s t o r   2 → Q u a r t a   t e n t a t i v a   ( N 2 = 3 )

Calculando:

P N 1 = 2 ∩ N 2 = 3 = 1 - 2 5 × 2 4 × 1 - 1 3 × 1 - 1 2 × 1 1

P N 1 = 2 ∩ N 2 = 3 = 3 5 × 2 4 × 2 3 × 1 2 × 1 1 = 1 10

Passo 9

Vamos lá. Oitava possibilidade:

T r a n s i s t o r   1 → T e r c e i r a   t e n t a t i v a   ( N 1 = 3 )

T r a n s i s t o r   2 → Q u a r t a   t e n t a t i v a   ( N 2 = 1 )

Calculando:

P N 1 = 2 ∩ N 2 = 3 = 1 - 2 5 × 1 - 2 4 × 2 3 × 1 2

P N 1 = 2 ∩ N 2 = 3 = 3 5 × 2 4 × 2 3 × 1 2 = 1 10

Passo 10

Vamos lá. Nona possibilidade:

T r a n s i s t o r   1 → T e r c e i r a   t e n t a t i v a   ( N 1 = 3 )

T r a n s i s t o r   2 → Q u a r t a   t e n t a t i v a   ( N 2 = 2 )

Calculando:

P N 1 = 2 ∩ N 2 = 3 = 1 - 2 5 × 1 - 2 4 × 2 3 × 1 - 1 2 × 1 1

P N 1 = 2 ∩ N 2 = 3 = 3 5 × 2 4 × 2 3 × 1 2 × 1 1 = 1 10

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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