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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 4

A função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por

f x , y = 6 7 x 2 + x y 2   0 < x < 1 ,   0 < y < 2

(a) Verifique que esta é de fato uma função densidade conjunta.

(b) Calcule a função densidade de X

(c) Determine P(X > Y)

(d) Determine P Y > 1 2 | X < 1 2

(e) Determine E(X)

(f) Determine E(Y)

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a).

Vamos verificar se as funções de densidade dadas são uma função de densidade conjunta:

∫ 0 1 ∫ 0 2 f x , y d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 2 6 7 x 2 + x y 2 d y d x

∫ 0 1 ∫ 0 2 f x , y d y d x = 6 7 ∫ 0 1 y x 2 + x y 2 4 0 2 d x

Calculando os limites de integração:

∫ 0 1 ∫ 0 2 f x , y d y d x = 6 7 ∫ 0 1 2 x 2 + x d x

Agora vamos integrar em relação a x :

∫ 0 1 ∫ 0 2 f x , y d y d x = 6 7 2 x 3 3 + x 2 2 0 1

Calculando os limites de integração:

∫ 0 1 ∫ 0 2 f x , y d y d x = 6 7 2 3 + 1 2 = 1

Passo 2

Show, agora vamos para a letra (b). Aqui temos que calcular a função densidade de X:

f X x = ∫ 0 2 f x , y d y = ∫ 0 2 6 7 x 2 + x y 2 d y

f X x = 6 7 y x 2 + x y 2 4 0 2 = 6 7 2 x 2 + x

Passo 3

Beleza, agora vamos calcular P X > Y . Para isso, temos que integrar sobre a região apropriada – no retângulo (0,1)x(0,2) onde x>y

P X > Y = ∫ 0 1 ∫ 0 x f x , y d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 x 6 7 x 2 + x y 2 d y d x

P X > Y = 6 7 ∫ 0 1 y x 2 + x y 2 4 0 x d x = 15 14 ∫ 0 1 x 3 d x

P X > Y = 15 14 x 4 4 0 1 = 15 56

Passo 4

Agora vamos para a letra (d). Vamos calcular P Y > 1 2 | X < 1 2 :

P Y > 1 2 | X < 1 2 = P Y > 1 2 , X < 1 2 P X < 1 2

P Y > 1 2 | X < 1 2 = ∫ 0 1 2 ∫ 1 2 2 f x , y d y d x ∫ 0 1 2 f x d x

P Y > 1 2 | X < 1 2 = ∫ 0 1 2 y x 2 + x y 2 4 1 2 2 d x 2 x 3 3 + x 2 2 0 1 / 2

Agora vamos calcular os limites de integração de baixo e de cima:

P Y > 1 2 | X < 1 2 = ∫ 0 1 2 y x 2 + x y 2 4 1 2 2 d x 2 x 3 3 + x 2 2 0 1 / 2

P Y > 1 2 | X < 1 2 = 6 ∫ 0 1 2 x 2 + 5 x 8 d x

Show, vamos integrar agora em relação a x :

P Y > 1 2 | X < 1 2 = 6 x 3 3 + 5 x 2 16 0 1 / 2 = 0,8625

Passo 5

Agora vamos para a letra (e). Vamos calcular E ( X ) :

E X = ∫ 0 1 x f x d x

E X = 6 7 x 4 2 + 5 x 3 3 0 1 = 5 7

Passo 6

Agora vamos para a letra (f). Vamos calcular a densidade de Y :

f y y = ∫ 0 1 f x , y d x = ∫ 0 1 6 7 x 2 + x y 2 d y

f y y = 6 7 x 4 2 + 5 x 3 3 0 1

E X = 8 7

Resposta

a )   1

b ) 6 7 2 x 2 + x

c )   15 56

d )   0,8625

e ) 5 7  

f ) 8 7

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