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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 3

A função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por

f x , y = c y 2 - x 2 e - y   - y ≤ x ≤ y ,   0 < y < ∞

(a) Determine c

(b) Determine as densidades marginais de X e Y.

(c) Determine E[X].

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a).

Para calcularmos o valor de c, vamos usar:

∫ 0 ∞ ∫ - y y f x , y d x d y = 1

∫ 0 ∞ ∫ - y y c y 2 - x 2 e - y d x d y = 1

Como c é uma constante, vamos jogar ela para fora pra facilitar com as contas:

c ∫ 0 ∞ ∫ - y y ( y 2 - x 2 e - y d x ) d y = 1

Vamos começar integrando em relação a x :

c ∫ 0 ∞ e - y y 2 x - e - y x 3 3 - y y d y = 1

Fazendo todas as contas, vamos achar no final:

4 c 3 ∫ 0 ∞ e - y y 3 d y = 1

Agora vamos integrar em relação a y . Fazendo as contas, nós vamos achar:

- 24 c 3 ( e - ∞ - e - 0 ) = 1

c = 1 8

Passo 2

Show, agora vamos para a letra (b). Aqui temos que calcular a função densidade marginal de X:

f X x = ∫ x ∞ f x , y d y = ∫ x ∞ 1 8 y 2 - x 2 e - y d y

f X x = 1 8 ∫ x ∞ e - y y 2 - e - y x 2 d y

Fazendo as contas da integral, vamos achar:

f X x = e - x 4 1 + x

Passo 3

Beleza, agora vamos calcular aqui a densidade marginal de Y:

f y y = ∫ - y y f x , y d x = ∫ - y y 1 8 y 2 - x 2 e - y d x

f y y = 1 8 ∫ - y y e - y y 2 - e - y x 2 d x

Fazendo as contas da integral, vamos achar:

f y y = y 3 e - y 6

Passo 4

Agora vamos para a letra (c). Aqui vamos calcular o E X .

E X = ∫ - ∞ ∞ x f x d x = ∫ - ∞ ∞ x e - x 4 1 + x d x

E X = 1 4 ∫ - ∞ ∞ x e - x + x x e - x d x ≈ 0

Resposta

a )   c = 1 8

b ) f X x = e - x 4 1 + x   e   f y y = y 3 e - y 6

c )   E X ≈ 0

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