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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 90

Se f X Y ( x , y ) = 1 2 π σ X σ Y 1 - p 2 × e { - 1 2 ( 1 - p 2 ) ( x - μ X σ 2 X - 2 ρ ( x - μ X ) ( y - μ Y ) σ X σ Y + ( y - μ Y ) 2 σ 2 Y } , determine E ( X ) ,   E ( Y ) ,   V ( X ) ,   V ( Y ) e ρ , organizando os parâmetros na função densidade conjunta de probabilidade.

Passo 1

A função de densidade de probabilidade de uma distribuição normal bivariada é:

f X Y ( x , y ) = 1 2 π σ X σ Y 1 - p 2 × e { - 1 2 ( 1 - p 2 ) ( x - μ X σ 2 X - 2 ρ ( x - μ X ) ( y - μ Y ) σ X σ Y + ( y - μ Y ) 2 σ 2 Y }

para - ∞ < x < ∞ e - ∞ < y < ∞ com parâmetros σ X > 0 ,   σ Y > 0 ,   - ∞ < μ X < ∞   ,   - ∞ < μ Y < ∞   ,   - 1 ≤ ρ ≤ 1

A partir disto, podemos determinar os parâmetros. Por enquanto, vamos ignorar o 1 2 π e focar na exponencial

- 1 0.72 ( x - 1 ) 2 - 1.6 × ( x - 1 ) ( y - 2 ) + ( y - 2 ) 2 ,   - 1 0.72 ( x - 1 ) 2 1 2 - 1.6 × ( x - 1 ) ( y - 2 ) 1 × 1 + ( y - 2 ) 2 1 2

Passo 2

Podemos notar que μ X = E ( X ) = 1 ,   μ Y = E ( Y ) = 2 ,   σ 2 X = V ( X ) = 1     e σ 2 Y = V ( Y ) = 1 porque não há como reorganizar a equação anterior de nenhuma outra maneira da mesma forma que a exponencial em na segunda equação. A única coisa que falta encontrar é o coeficiente de correlação ρ . Agora que sabemos os parâmetros, nós também sabemos que

2 ( 1 - ρ 2 ) = 0.72 e 2 π 1 - ρ 2 = 1.2 π

De qualquer um desses dois, concluímos que ρ = 0.8 , que significa que

1 2 π × 1 × 1 1 - 0 . 8 2 × e x p - 1 2 ( 1 - 0 . 8 2 ) ( x - 1 ) 2 1 2 - 2 × 0.8 ( x - 1 ) ( y - 2 ) 1 × 1 + ( y - 2 ) 2 1 2

Resposta

E ( X ) = 1 ,   E ( Y ) = 2 ,   V ( X ) = 1 ,   V ( Y ) = 1 ,   ρ = 0.8

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