Uma fábrica usar dois dispositivos de inspeção para mostrar uma fração de sua saída, com objetivo de controlar a qualidade. O primeiro monitor de inspeção é capaz de detectar a cura da mente 99,3% dos itens defeituosos que a fábrica recebe, enquanto o segundo dispositivo é capaz de detectar 99,7% dos casos. Considere que quatro itens defeituosos são produzidos enviados para inspeção. Sejam X e Y o número de itens que serão identificados como defeituosos pelos dispositivos de inspeção um e dois, respectivamente. Suponha que os dispositivos sejam independentes. Determine

Usamos como exemplo x=2 e y=2, a explicação para outros probabilidades é a mesma. Para cada um dos quatro itens, o primeiro dispositivo verifica e, em seguida, o segundo dispositivo, o que significa que há 8 check-ins no total. Vamos ver o que é probabilidade

do evento ”ambos os dispositivos encontraram defeito nos dois primeiros itens, e que não existe nenhum defeito nos dois segundos itens ”. Podemos escrever como

Aqui usamos a independência dos eventos A e B.

Mas para o evento E acima, não estamos interessados ​​em qual dos quatro itens tem defeito (estamos apenas interessados ​​no número de defeitos) então o evento , também está incluído no evento E.

Vamos agora verificar qual é a probabilidade do evento T - ”o dispositivo 1 detectou os primeiros dois itens como defeituosos e outros como não defeituosos e o dispositivo 2

detectou 2 itens com defeito e 2 itens sem defeito ”. Neste caso, existem vários eventos incluídos, eles podem ser escritos como a união de todos os eventos possíveis na forma , onde é tanto B ou e apenas dois pares de dois podem ser o mesmo. Quantos eventos existem? Aqui é fácil notar que existem eventos nesta forma. Então nós temos o seguinte:

Aqui usamos quando A e B são independentes (mutuamente exclusivos), que representa qualquer combinação dos eventos.

Aqui nós também usamos independência e o que calculamos acima é o mesmo para todas as probabilidades da soma.

Agora, finalmente, podemos ver o que o evento E realmente é um evento. Agora não somos

interessados em qual dos quatro itens tem os defeitos, então vamos apenas somar todas as combinações, então obtemos:

Usando a mesma lógica e explicação, agora podemos criar a função de massa conjunta:

Multiplicando as probabilidades, obtemos a função de massa conjunta para

cada . Após o cálculo, nós temos:

Letra b:

Vamos calcular a distribuição marginal pela definição:

O que significa que é uma soma das probabilidades em cada linha, podemos notar (quando

somamos as probabilidades e obtemos exatamente as mesmas probabilidades para a Distribuição binomial ou podemos notar o mesmo no exercício) que na verdade, segue a distribuição Binomial com os parâmetros e n = 4, e podemos escrever como :

O mesmo vai para

Letra c:

A expectativa matemática da variável aleatória discreta X é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade

Mas é bem sabido que a expectativa de variável aleatória com distribuição Binomial é:

Letra d:

Da definição de probabilidade condicional temos:

onde A e B são eventos, e . Podemos usá-lo para função de massa também, então temos:

onde sabemos e todos os valores de para cada

Provamos acima que então realmente obtemos que segue a distribuição binomial com os parâmetros e

Letra e:

Como acima, temos distribuição binomial, então:

Letra f:

é a variância da variável aleatória X que segue a distribuição Binomial com os parâmetros e é . Usando isso variável aleatória , temos:

Letra g:

Encontramos distribuições marginais para X e Y. As verificações são as seguintes funções iguais para todos :

O que é óbvio de (a) e (b). Conclusão: eles são independentes.

Note que não podemos usar a independência antes de prová-la (por exemplo em (a)).