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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 6º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 47b

Distribuição lognormal. Outra distribuição usada quando se têm valores positivos é a distribuição lognormal. A v.a. X tem distribuição lognormal, com parâmetros μ e σ², σ²> 0, se Y=lnX tiver distribuição normal com média μ e variância σ². A f.d.p. de X tem a forma

O gráfico de f(x) está na figura abaixo.

Se E(X) = m, prove que

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para provarmos a relação acima. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser usar a definição da média.

E X = ∫ b ∞ x f ( x ) d x

E X = ∫ 0 ∞ x 1 x σ 2 π   e - 1 2 ln ⁡ x - μ σ 2 d x

y - μ σ = z  

E X = e μ + σ 2 2 ∫ - ∞ ∞ e z - σ 2 2 π   d z

∫ - ∞ ∞ e z - σ 2 2 π   d z = 1

E X = e μ + σ 2 2 = m

Passo 3

Pronto!! Agora é só resolvermos a relação!!

E X 2 = m 2 e σ 2

V a r X = m ² ( e σ 2 - 1 )

Resposta

V a r X = m ² ( e σ 2 - 1 )

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