Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 11
a) Um inteiro é selecionado aleatoriamente de , onde cada um dos números tem a mesma probabilidade de ser selecionado. Qual é a probabilidade de que seja divisível por 3? por 5? por 7? por 15? por 105? como sua resposta mudaria se fosse trocado por à medida que k se tornasse cada vez maior?
b) Uma importante função na teoria dos números – cujas propriedades estão relacionadas àquele que é considerado um dos mais importantes problemas não resolvidos da matemática, a hipótese de Riemann – é a função Möbius , definida para todos os valores em inteiros positivos da forma a seguir: fatore em seus fatores primos. Se houver um fator primo repetido, como em ou então , por definição considere que seja agora escolhido aleatoriamente a partir de onde k é grande. Determine à medida que .
Dica: para calcular use a identidade:
Passo 1
Vamos lá galera, essa questãozinha parece super complexa, é um pouquinho msm, rsrsrsrs... Mas nada que nós não podemos resolver, vamos lá:
a) Nessa aqui, vamos primeiro ter que avaliar quantos divisores de 3 existem entre 1 e 1000. E aí, quantos são? Dá o papo!? Molezinha né, resto 1. Logo:
Os divisores por 5, por 7, por 15 e por 105, seguem a mesma ideia:
Passo 2
No caso limite, quando os denominadores crescem indefinidamente, temos a convergência dos valores para:
Passo 3
b) Aqui já se trata de uma questão beem mais chatinha, mas ainda bem que ele deu uma dica, vamos usar ela pra resolver, daí vai ficar mais fácil.
Mas da dica que o problema deu: