Enunciado

Distribuição de Pareto. Esta é uma distribuição freqüentemente usada em Economia, em conexão com problemas de distribuição de renda. Dizemos que a v.a. X tem distribuição de Pareto com parâmetros α 0, b 0 se sua f.d.p. for dada por

Aqui, b pode representar algum nível mínimo de renda, x é o nível de renda e f(x) Δx dá a proporção de indivíduos com renda entre x e x + Δx. O gráfico de f(x) está na figura abaixo.

Prove que

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para provarmos a integral acima. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser usar a definição.

∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ - ∞ ∞ a b b a + 1 x - a - 1 d x

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos a integralzinha!!

∫ - ∞ ∞ f x d x = b a × b - a

∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = 1

Resposta

∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = 1

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