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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas de Autoteste e Exercícios - Ex. 25

Duas fábricas locais, A e B, produzem rádios. Cada rádio produzido pela fábrica A tem probabilidade de 0,05 de apresentar defeitos, enquanto cada rádio produzido pela fábrica B tem probabilidade de 0,01 de apresentar defeitos. Suponha que você compre dois rádios que tenham sido produzidos pela mesma fábrica, que tem a mesma probabilidade de ser a fábrica A ou a fábrica B. Se o primeiro rádio que você verificou está com defeito, qual é a probabilidade condicional de que o outro também esteja com defeito?

Passo 1

Vamos lá pra mais um pessoal, concentração total agora. #MODOONATIVADO

Nesse problema vamos ter que ser espertos e usar umas manipulações algébricas junto com nosso entendimento de probabilidade condicional, vamos lá!

Se P R 1 e P ( R 2 ) são, respectivamente, as probabilidades dos rádios 1 e 2 estarem com defeito e P ( A ) e P ( B ) as probabilidades dos rádios terem sido produzidos por A e B.

P R 2 R 1 = P ( R 1 R 2 ) P ( R 1 )

Bom, agora vamos fazer algumas manipulações algébricas pra chegarmos nas probabilidades que temos no enunciado.

P R 2 R 1 = P ( R 1 R 2 ) P ( R 1 ) = P R 1 R 2 A + P ( R 1 R 2 B ) P R 1 A + P ( R 1 B ) = P R 1 R 2 A P A + P R 1 R 2 B P ( B ) P R 1 A P A + P R 1 B P ( B )

Agora chegamos nas probabilidades dadas no enunciado, vamos entender essas probabilidades.

Passo 2

Na prática, quais os dados que o problema nos dá? Os dados são:

P R 1 A = P R 2 A = 0,0 5

P R 1 B = P R 2 B = 0,0 1

P A = P B = 0,5

Assim, vamos agora fazer as contas:

P R 2 R 1 = P R 1 R 2 A P A + P R 1 R 2 B P B P R 1 A P A + P R 1 B P B

P R 2 R 1 = P R 1 A ⋅ P R 2 A ⋅ P A + P R 1 B ⋅ P R 2 B ⋅ P B R 1 A P A + P R 1 B P B = 0,05 2 . 0,5 + 0,01 2 . 0,5 0,05.0,5 + 0,01.0,5

P ( R 2 R 1 = 0,0433

Resposta

P ( R 2 R 1 = 0,0433

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