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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas de Autoteste e Exercícios - Ex. 19

Três jogadores jogam moedas ao mesmo tempo. A moeda jogada por A ( B ) [ C ] dá cara com probabilidades P 1 ( P 2 ) [ P 3 ] . Se uma pessoa obtém um resultado diferente dos outros dois, então ele sai da disputa. Se ninguém sair, os jogadores jogam as moedas de novo até que alguém saia. Qual é a probabilidade de que A saia do jogo?

Passo 1

E aí galera boa, tudo certo? Bora fazer esse rapidinho, é tranquilo, vamos direto ao ponto.

Vamos usar a seguinte estratégia aqui: Pense no que pode acontecer para que o A saia do jogo. Para o “A” sair é necessário que sua moeda, resulte em uma face para cima diferente da dos outros dois: e como podemos calcular essas probabilidades:

Isso, representa os casos que queremos calcular, ou seja, nossos casos favoráveis.

P ( A   c a r a   |   B   e   C   c o r o a ) = P 1 ⋅ ( 1 - P 2 ) ⋅ ( 1 - P 3 )

P ( A   c o r o a   |   B   e   C   c a r a ) = 1 - P 1 ⋅ P 2 ⋅ P 3

Passo 2

Agora, vamos em busca de determinar quais são todas as possibilidades de 3 lançamentos que satisfazem o que o problema pede. E essa probabilidade é dada por:

P A ∪ B ∪ C - P A ∩ B ∩ C = P 1 + P 2 + P 3 - P 1 P 2 - P 2 P 3 - P 1 P 3 + P 1 P 2 P 3 - P 1 P 2 P 3

P 1 + P 2 + P 3 - P 1 P 2 - P 2 P 3 - P 1 P 3

Passo 3

Com isso podemos finalmente encontrar a probabilidade pedida:

P A   s a i r = P 1 ⋅ 1 - P 2 ⋅ 1 - P 3 + 1 - P 1 ⋅ P 2 ⋅ P 3 P 1 + P 2 + P 3 - P 1 P 2 - P 2 P 3 - P 1 P 3

Resposta

P 1 ⋅ 1 - P 2 ⋅ 1 - P 3 + 1 - P 1 ⋅ P 2 ⋅ P 3 P 1 + P 2 + P 3 - P 1 P 2 - P 2 P 3 - P 1 P 3

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