Enunciado
Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 29
Duas lâmpadas queimadas foram acidentalmente misturadas com seis lâmpadas boas. Se vamos testando as lâmpadas, uma por uma, até encontrar duas defeituosas, qual é a probabilidade de que a última defeituosa seja encontrada no quarto teste?
Passo 1
Vamos lá!
Temos um total de 8 lâmpadas: 6 boas (B) e 2 defeituosas (queimadas) (D).
Essas lâmpadas foram misturadas e devemos testar uma a uma até encontrar as duas deifeituosas, ou seja, podemos ter os seguintes casos:
1° caso: DD ou seja, de cara testamos as duas queimadas.
2° caso: DBD testamos a primeira, está queimada, contudo a segunda está boa e a terceira está queimada.
E assim por diante, certo?
Porém o enunciado pede a probabilidade de ocorrer um caso em particular, vejamos:
“Duas lâmpadas queimadas foram acidentalmente misturadas com seis lâmpadas boas. Se vamos testando as lâmpadas, uma por uma, até encontrar duas defeituosas, qual é a probabilidade de que a última defeituosa seja encontrada no quarto teste?”
Então, queremos o caso em que a segunda defeituosa seja encontrada no QUARTO teste, ou seja, pode ser:
Passo 2
Note que neste caso, os três primeiros testes não estão determinados, contudo o último (o quarto) necessariamente precisa ser uma lâmpada queimada. Podemos dizer então que ela está FIXA na quarta posição, certo?
fixo
As posições podem variar
Percemos então que se olharmos apenas para as três primeiras retiradas, podemos fazer uma permutação entre essas lâmpadas:
Então, sabemos que seja lá qual for a probabilidade, basta multiplicarmos por três, pois temos três possibilidades desse resultado acontecer 😉.
Passo 3
Agora vamos calcular as probabilidades:
- Probabilidade da primeira lâmpada ser boa:
-Probabilidade da primeira lâmpada ser queimada:
- Probabilidade da segunda lâmpada ser boa, dado que a primeira foi boa:
- Probabilidade da segunda lâmpada ser boa, dado que a primeira foi queimada:
- Probabilidade da segunda lâmpada ser queimada, dado que a primeira foi boa:
E por aí vai... então percebemos que terá sempre essa cara:
- Probabilidade de termo 2 lâmpadas boas e 2 queimadas:
- Probabilidade de na quarta retirada termos a última lâmpada queimada: