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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios Suplementares - Ex. 111

Defina uma função p ( x ; λ , μ ) por

p ( x ; λ , μ )   = 1 2 e - λ λ x x ! + 1 2 e - μ μ x x ! x = 0,1 , 2 , … 0  caso contrário 

a. Mostre que p ( x ; λ , μ ) satisfaz às duas condições necessárias para especificação de uma fmp. [Nota: Se uma empresa emprega dois digitadores, um dos quais comete erros tipográficos na taxa de λ por página e o outro na taxa de μ por página e cada um deles faz metade do trabalho de digitação da empresa, então p ( x ; λ , μ ) é a fmp de X = número de erros em uma página selecionada aleatoriamente.]

b. Se o primeiro digitador (taxa λ ) digita 60 % de todas as páginas, qual é a fmp de X da parte (a)?

c. Qual é E ( X ) de p ( x ; λ , μ ) dado por essa expressão?

d. Qual é o valor de σ 2 de p ( x ; λ , μ ) obtido por aquela expressão?

Passo 1

E aí pessoal partiu para mais uma questão de (probabilidade)? Abaixo começaremos trazendo algumas informações do enunciado:

Mostre que p ( x ; λ , μ ) satisfaz às duas condições necessárias para especificação de uma fmp.

a.   p ( x ; λ , μ ) = 1 2 p ( x ; λ ) + 1 2 p ( x ; μ ) onde tanto p(x;λ) quanto p(x;μ) são Poisson p.m.f.'s e assim ≥0, então p(x;λ,μ)≥0. Mais longe,

∑ x = 0 ∞   p ( x ; λ , μ ) = 1 2 ∑ x = 0 ∞   p ( x ; λ ) + 1 2 ∑ x = 0 ∞   p ( x ; μ ) = 1 2 + 1 2 = 1

Passo 2

Se o primeiro digitador (taxa λ ) digita 60 % de todas as páginas, qual é a fmp de X da parte (a)?

b.  . 6 p ( x ; λ ) + . 4 p ( x ; μ )

Passo 3

c. . Qual é E ( X ) de p ( x ; λ , μ ) dado por essa expressão?

E ( X ) = ∑ x = 0 ∞   x 1 2 p ( x ; λ ) + 1 2 p ( x ; μ ) = 1 2 ∑ x = 0 ∞   x p ( x ; λ ) + 1 2 ∑ x = 0 ∞   x p ( x ; μ ) = 1 2 λ + 1 2 μ = λ + μ 2

Passo 4

Qual é o valor de σ 2 de p ( x ; λ , μ ) obtido por aquela expressão?

d. E X 2 = 1 2 ∑ x = 0 ∞   x 2 p ( x ; λ ) + 1 2 ∑ x = 0 ∞   x 2 p ( x ; μ ) = 1 2 λ 2 + λ + 1 2 μ 2 + μ (já que paraPoisson r.v., E X 2 = V ( X ) + [ E ( X ) ] 2 = λ + λ 2 ,então V ( X ) = 1 2 λ 2 + λ + μ 2 + μ - λ + μ 2 2 = λ - μ 2 2 + λ + μ 2

Resposta

a. 1

b. 6 p ( x ; λ ) + . 4 p ( x ; μ )

c. λ + μ 2

d. λ - μ 2 2 + λ + μ 2

Espero que tenham aprendido com essa questão, até a próxima!

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