Um ecologista deseja selecionar um ponto dentro de uma região circular de amostragem, de acordo com uma distribuição uniforme (na prática, isso poderia ser feito selecionando-se primeiro uma direção e, depois, uma distância do centro naquela direção). Seja coordenada do ponto selecionado e coordenada desse ponto. Se o círculo tiver centro em (0, 0) e raio , então a fdp conjunta de e é.

a. Qual é a probabilidade de o ponto selecionado estar dentro de do centro da região circular? [Sugestão: desenhe a região de densidade positiva . Já que é constante em , calcular a probabilidade resume-se em calcular uma área.]

b. Qual é a probabilidade de e serem diferentes de 0 no máximo ?

c. Responda ao item (b) com substituindo .

d. Qual é a fdp marginal de ? De Y? X e são independentes?

Aqui, o conjunto é um círculo com raio , logo:

O e podem diferir em ambas as direções. Sendo assim, o evento em pode ser descrito como:

E a probabilidade que precisamos calcular é:

Onde, é um quadrado com lado .

Agora, calculamos da mesma forma que no passo anterior, a única diferença é que o lado é maior.

Por fim, para calcularmos a fdp marginal de uma variável aleatória contínua usamos:

Os limites da integral são:

Com isso, temos:

,

Portanto, a fdp marginal de é definida por:

Para .

E a fdp marginal de :

Para .

Então, para definirmos se duas variáveis são independentes elas devem respeitar a seguinte equação:

Sendo assim, podemos notas que o produto das fdps não resulta em . Portanto, as variáveis são dependentes.