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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 59

a. Demonstre que b(x; n, 1 p) b(n x; n, p).

b. Demonstre que B(x; n, 1 p) 1 B(n x 1; n, p). [Sugestão: no máximo x S’s serão equivalentes a pelo menos (n x) F’s.] c. O que as partes (a) e (b) implicam sobre a necessidade de se incluir valores de p maiores do que 0,5 na Tabela A.1 do Apêndice?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1. Teorema

    2. b x ; n ,   p =   n x p x 1 - p n - x ,   x = 0,1 , 2 … , n 0

    Intuitivamente, como você pode escolher S e F arbitrariamente (você pode escolher o que é um sucesso e o que é um fracasso), as probabilidades dadas devem ser as mesmas. Os eventos que

    x   s u c e s s o   q u a n d o   P S = 1 - p

    que é dado no lado esquerdo, é idêntico ao evento

    n - x   f a l h a   q u a n d o   P F = p

    do lado direito. No entanto, a prova formal é a seguinte, para x   ∈   R

    b x ; n , p - 1 =   n x p - 1 x p n - x =   n n - x p n - x p - 1 x = b n - x ; n , p

    n x =   n n - x

    Passo 2

  2. Intuitivamente, como dado na dica, no máximo x sucessos é equivalente a pelo menos n-x) falhas. Lembre-se do seguinte:

    3. Função de Densidade Cumulativa cdf da variável aleatória binomial X com parâmetros n e p é

    B x ; n ,   p = P X   ≤ x =   ∑ y = 0 x b ; n , p ,   x = 0,1 , … , n

    Onde P ( X   ≤ x ) significa no máximo x sucessos. O seguinte é verdade

    B x ; n ,   1 - p =   ∑ y = 0 x b y ; n , p - 1

    também, o complemento do evento { X   ≤ x } é { X > x } , portanto, como

    ∑ y = 0 n b y ; n , p = 1

    Nós temos que

    P   X > x = 1 - ∑ y = 0 x b y ; n , p - 1 =   ∑ y = x + 1 n b ( ; n , p - 1 )

    Passo 3

    Agora, se usarmos (a), vale o seguinte, para y   ϵ   R

    b y ; n , p - 1 = b n - y ; n , p

    Então nós temos que

    P   X > x   =   ∑ y = x + 1 n b n - y ; n , p

    ou se escrevermos soma como

    P X > x   = b n - x - 1 ; n ,   p + b n - x - 2 ,   n ,   p + b n - x - 3 ; n , p + … + b 1 ; n , p + b 0 ; n , p = b 0 ; n , p + b 1 ; n , p + … + b n - x - 1 ; n , p

    =   ∑ y = 0 n - x - 1 b y ; n , p

    = B n - x - 1 ; n , p ;

    Finalmente, o seguinte é verdadeiro

    B x ; n ,   1 - p = P X   ≤ x = 1 - P X > x

    = 1 - B n - x - 1 ; n , p

  3. Não é necessário incluir valores superiores a 0,50,5 na Tabela A.1 do Apêndice. Como podemos ver, sempre podemos usar os resultados de (a) e (b) para modificar a probabilidade de ser menor ou igual a 0.5 para obter o resultado. Então, se p>0.5 1-p seria menor que 0,5, então podemos usar isso.

Resposta

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