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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 57

Um estudante que está tentando escrever um trabalho para um curso tem a escolha de dois tópicos: A e B. Se o aluno escolher o tópico A, solicitará dois livros por empréstimo da biblioteca, e, se escolher B, serão solicitados quatro livros. O estudante acredita que, para escrever um bom trabalho, precisa receber e usar ao menos metade dos livros selecionados para cada tópico escolhido. Se a probabilidade de um livro solicitado chegar em tempo for de 0,9 e os livros chegam independentemente um do outro, que tópico o aluno deve escolher para maximizar a probabilidade de escrever um bom artigo? E se a probabilidade for de apenas 0,5 em vez de 0,9?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Dado:

n A = 2

n B = 4

p = 0.90

Definição de probabilidade binomial:

P   X = k = C k ∙ P k ∙ 1 - p n - k = n ! k ! n - k ! ∙ p k ∙ 1 - p n - k

O aluno escreve um bom trabalho, se pelo menos metade dos livros encomendados forem recebidos, o que significa que no caso de AA pelo menos 1 livro (porque são encomendados 2 livros) e no caso de BB pelo menos 2 livros (porque 4 livros são encomendados).

Passo 2

P   X A   ≥ 1 = P X 1 = 1 + P X A = 2 = 2 ! 1 ! 2 - 1 ! ∙ 0.90 1 ∙ 1 - 0.90 2 - 1 + 2 ! 2 ! 2 - 2 ! ∙ 0.90 2 ∙ 1 - 0.90 2 - 2

= 0.18 + 0.81 = 0.99

P   X B ≥ 2 = P X B = 2 + P X B = 3 + P X B = 4 = 4 ! 2 ! 4 - 2 ! ∙ 0.90 2 ∙ 1 - 0.90 4 - 2 + 4 ! 3 ! 4 - 3 ! ∙ 0.90 3 ∙ 1 - 0.90 4 - 3 + 4 ! 4 ! 4 - 4 ! ∙ 0.90 4 ∙ 1 - 0.90 4 - 4

= 0.0486 + 0.2916 + 0.6561 = 0.9963

Observamos então que a probabilidade é maior para B e, portanto, é mais sensato escolher o tópico B, pois assim temos mais chance de escrever um bom artigo.

Passo 3

p = 0.50

O aluno escreve um bom trabalho, se pelo menos metade dos livros encomendados forem recebidos, o que significa que no caso de AA pelo menos 1 livro (porque são encomendados 2 livros) e no caso de BB pelo menos 2 livros (porque 4 livros são encomendados).

P     X A   ≥ 1 = P   X A = 1 + P X A = 2 = 2 ! 1 ! 2 - 1 ! ∙ 0.50 1 ∙ 1 - 0.50 2 - 1 + 2 ! 2 ! 2 - 2 ! ∙ 0.50 2 ∙ 1 - 0.50 2 - 2

= 0.5 + 0.25 = 0.75

P X B ≥ 2 = P   X B = 2 + P X B = 3 ) + P X B = 4 = 4 ! 2 ! 4 - 2 ! ∙ 0.50 2 ∙ 1 - 0.50 4 - 2 + 4 ! 3 ! 4 - 3 ! ∙ 0.50 3 ∙ 1 - 0.50 4 - 3 + 4 ! 4 ! 4 - 4 ! ∙ 0.50 4 ∙ 1 - 0.50 4 - 4

= 0.375 + 0.25 + 0.0625 = 0.6875

Observamos então que a probabilidade é maior para A e, portanto, é mais sensato escolher o tópico A, pois assim temos mais chances de escrever um bom artigo.

Resposta

p = 0.9  

p = 0.5

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