De um saco de frutas que contém três laranjas, duas maçãs e três bananas, uma amostra aleatória de quatro frutas é selecionada. Se X é o número de laranjas e Y é número de maçãs, determine

(a) a distribuição de probabilidade conjunta de X e Y ;

(b) P [ X ,   Y ∈ A ] , onde A é a região dada por { ( x ,   y ) | x + y ≤ 2 } .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Como são 3 laranjas e 2 maçãs no saco, e uma amostra de 4 pedaços de fruta está sendo selecionada, sabemos que a variável aleatória X pode assumir os valores 0 ,   1 ,   2 e 3 , enquanto a variável aleatória Y assume os valores 0 ,   1 e 2

Sendo assim, podemos concluir:

P X = 0 ,   Y = 0 = P X = 2 ,   Y = 3 = 0

Então, bora finalizar a questão!!!

Passo 2

A primeira probabilidade dessas duas é igual a 0 , já que a amostra do saco contém apenas 3 pedaços de frutas além de maçãs e laranjas, mas a amostra precisa contar 4 pedaços, então é impossível não escolher pelo menos 1 maçã ou laranja.

A outra probabilidade é igual a 0 porque a amostra contém 4 pedaços de fruta, então não pode escolher 2 maçãs e 3 laranjas, totalizando 5 pedaços.

Todas as outras combinações, que as variáveis X e Y são capazes de assumir, são possíveis.

É possível notar que, se a amostra contém x laranjas e y maçãs, ela também contém 4 - x - y bananas. Portanto, o número de maneiras pelas quais x laranjas e y maçãs podem ser escolhidas na amostra é:

3 x 2 y 3 4 - x - y

Sabendo que o número total de maneiras que podemos escolher os pedaços de 4 frutas entre 8 é 8 4 , temos a seguinte fórmula para a probabilidade:

f x ,   y = P X = x ,   Y = y = 3 x 2 y 3 4 - x - y 8 4

Calculando todas as combinações com a fórmula disposta acima, encontramos a seguinte tabela:

Passo 3

Nós precisamos encontrar a probabilidade P ( X + Y ≤ 2 ) , usando a definição de probabilidade conjunta.

P X + Y ≤ 2 = ∑ y = 0 2 ∑ x = 0 2 - y P ( X = x ,   Y = y )

= ∑ y = 0 2 ∑ x = 0 2 - y f x ,   y

= f 0 ,   0 + f 1 ,   0 + f 2 ,   0 + f 0 ,   1 + f 1 ,   1 + f 0 ,   2

Pegando os valores da tabela que montamos acima:

= 0 + 3 70 + 9 70 + 2 70 + 18 70 + 3 70

P X + Y ≤ 2 = 1 2

Resposta

(a) Resolução no Passo 2.

(b) 1 / 2

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