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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 5

Uma empresa paga a seus estagiários de engenharia de acordo com o ano de curso do estudante. Para se obter o salário mensal pago por 30 horas semanais, multiplica-se o salário mínimo pelo ano de curso do estagiário. Dessa forma, o estudante do primeiro ano ganha um salário mínimo, o do segundo recebe dois e assim por diante até o quinto ano. A empresa vai empregar 2 novos estagiários e admitimos que todos os anos têm igual número de estudantes interessados no estágio (considere a população de candidatos muito grande de modo a não haver diferença entre escolher com ou sem reposição). Pergunta-se a probabilidade de:

  1. Os dois serem do primeiro ano?
  2. A empresa gastar no máximo 3 salários mínimos com os estágios?
  3. Sabendo que gastou pelo menos 4, gastar menos de 7 salários mínimos?

Passo 1

Vamos criar uma variável aleatória baseada no modelo uniforme, já que todos os alunos de qualquer ano tem a mesma probabilidade de virar estagiário. Temos alunos do primeiro, segundo, terceiro, quarto e quinto ano, logo X = 1,2 , 3,4 , 5 ,   cada um tendo 0,2 de chance de entrar.

Passo 2

    2. P X = 1 = 0,2

    Se dois são do primeiro ano 0,2 × 0,2 = 0 , 0 4

    Passo 3

  2. Para a empresa gastar no máximo 3 salários mínimos, ela pode contratar 3 casos diferentes:

    3. Caso 1 (Primeiro Ano, Primeiro Ano) P C a s o   1 = 0,2 × 0,2 = 0,04

    Caso 2 (Primeiro Ano, Segundo Ano) P C a s o   2 = 0,2 × 0,2 = 0,04

    Caso 3 (Segundo Ano, Primeiro Ano) P C a s o   3 = 0,2 × 0,2 = 0,04

    Logo P M a x   3   s a l á r i o s   m í n i m o s = 0,04 + 0,04 + 0,04 = 0,12

    Passo 4

  3. Nesse item temos uma probabilidade condicional, então lembrando primeiro a fórmula:

P B A = P A ∪ B P ( A )

No caso queremos P ( G a s t a r   m e n o s   q u e   7 | G a s t o u   4   o u   m a i s ) , vamos por partes:

Para gastar 4 ou mais, temos os seguintes casos:

Caso 1 ( S e g u n d o ,   S e g u n d o )   =   0,04

Caso 2 ( S e g u n d o ,   T e r c e i r o )   +   ( T e r c e i r o ,   S e g u n d o )   =   0,04 + 0,04 = 0,08

Caso 3 ( T e r c e i r o ,   T e r c e i r o )   =   0,04

Caso 4 ( T e r c e i r o ,   Q u a r t o ) + ( Q u a r t o ,   T e r c e i r o )   =   0,04 + 0,04 = 0,08

Caso 5 ( Q u a r t o ,   Q u a r t o )   =   0,04

Caso 6 Q u a r t o ,   Q u i n t o + Q u i n t o ,   Q u a r t o = 0,04 + 0,04 = 0,08

Caso 7 Q u i n t o ,   Q u i n t o = 0,04

Somando tudo, encontramos que P G a s t a r   4   o u   m a i s = 0,4

Para gastar menos que sete:

Caso 1 P r i m e i r o ,   P r i m e i r o = 0,04

Caso 2 P r i m e i r o ,   S e g u n d o + S e g u n d o ,   P r i m e i r o = 0,04 + 0,04 = 0,08

Caso 3 ( S e g u n d o ,   S e g u n d o )   =   0,04

Caso 4 S e g u n d o ,   T e r c e i r o + T e r c e i r o ,   S e g u n d o = 0,04 + 0,04 = 0,08

Caso 5 T e r c e i r o ,   T e r c e i r o = 0,04

Somando tudo temos que P G a s t a r   m e n o s   q u e   7 = 0,28

Passo 3

Repare que quando formos fazer a união temos que tomar cuidado para não contar alguns casos duas vezes, como por exemplo, o Caso 1 gastando 4 ou mais, é o mesmo que o Caso 3 quando gasto menos que 7, logo:

P G a s t o < 7 G a s t o ≥ 4 = 0,04 + 0,08 + 0,04 + 0,08 + 0,04 + 0,04 + 0,08 0,4 =

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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