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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 24

A e B jogam o seguinte jogo: A escreve o número 1 ou o número 2, e B deve adivinhar que número foi escrito. Se o número que A escreveu é i e B adivinha-o, B recebe i unidades de A. Se B erra sua tentativa, B paga 3 / 4   de unidade a A. Se B torna a sua escolha aleatória arriscando 1 com probabilidade p e 2 com probabilidade 1-p, determine seu ganho esperado se

(a) A escreveu o número 1 e (b) se A escreveu o número 2.

Que valor de p maximiza o valor mínimo possível do ganho esperado de B, e qual é este valor? (Observe que o valor esperado do ganho de B não depende somente de p, mas também do que faz A.)

Considere agora o jogador A. Suponha que ele também torne a sua decisão aleatória, escrevendo o número 1 com probabilidade q. Qual é a perda esperada de A se

(c) B escolher o número 1 e

(d) B escolher o número 2?

Que valor de q minimiza a máxima perda esperada de A? Mostre que o mínimo da perda máxima esperada de A é igual ao máximo do mínimo ganho esperado de B. Este resultado, conhecido como o Teorema Minimax, foi estabelecido pelo matemático John von Neumann e é o resultado fundamental da disciplina da matemática conhecida como teoria dos jogos. O valor comum é chamado de valor do jogo para o jogador B.

Passo 1

Faaala pessoal, questãozinha bem interessante pra a gente fazer agora. Vamos juntos.

a) Se A escrever o número 1 ganho esperado de B será:

E r e c e b i d o = 1 ⋅ p - 3 4 ⋅ 1 - p = 7 4 p - 3 4

Passo 2

b) Da mesma forma, se ele escrever o número dois:

E r e c e b i d o = 2 ⋅ 1 - p - 3 4 p = - 11 4 p + 2

Para encontrar o valor máximo possível do ganho mínimo esperado de B, devemos igualar as duas situações anteriormente descritas:

7 4 p - 3 4 = - 11 4 p + 2   → p = 11 18

v a l o r   m á x i m o   d e   B = 7 4 ⋅ 11 18 - 3 4 = 23 72

Passo 3

c) De modo análogo, vamos agora considerar os gastos de A. Mas esse cálculo é totalmente simétrico com o anterior, já que os gastos de A devem corresponder aos ganhos de B. Sendo assim:

E g a s t o = 1 ⋅ q - 3 4 1 - q = 7 4 q - 3 4

Passo 4

d) Do mesmo modo:

E g a s t o = 2 ⋅ 1 - q - 3 4 q = - 11 4 q + 2

Como já vimos o gasto mínimo será para q = 1 1 / 18 e o valor mínimo será 2 3 / 72

Resposta

a) E r e c e b i d o = 7 4 p - 3 4

b)

E r e c e b i d o = - 11 4 p + 2

p = 11 18   |   v a l o r   m á x i m o = 23 / 72  

c)

E g a s t o = 7 4 q - 3 4

d)

E g a s t o = - 11 4 q + 2

q = 11 18   |   v a l o r   m í n i m o = 23 / 72  

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