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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 22

Suponha que dois times joguem uma série de partidas que termina quando um deles tiver ganhado i partidas. Suponha que cada partida jogada seja, independentemente, vencida pelo time A com probabilidade p. Determine o número esperado de partidas jogadas quando

(a) i   =   2

(b) i   =   3

Também, mostre em ambos os casos que este número é maximizado quando p   =   1 / 2 .

Passo 1

Mais uma em pessoal, segura aí que já já você vai entender como resolver essa questão? Vem comigo.

a) Vamos denotar por N o número de partidas jogadas e calcular a esperança de i ocorrer:

E i = 2 = 2 p 2 + 1 - p 2 + 3 2 p 1 - p = 2 + 2 p 1 - p = 2 + 2 p - 2 p 2

Vamos encontrar o valor que maximiza E:

d d t E i = 0 →   2 - 4 p = 0 → p = 1 / 2

Passo 2

b) De modo análogo, façamos agora:

E i = 3 = 3 p 3 + 1 - p 3 + 4 3 p 3 1 - p + 3 p 1 - p 1 - p 2 + 5 6 p 2 1 - p 2

E i = 3 = 6 p 4 - 12 p 3 + 3 p 2 + 3 p + 3

d d t E i = 0 →   24 p 3 - 36 p 2 + 6 p + 3 = 0 → p = 1 / 2

Resposta

Expressões e demonstrações deduzidas na solução

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