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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 38

Uma empresa de telemarketing tem uma máquina especial que abre e remove o conteúdo de envelopes. Se o envelope é colocado de modo impróprio na máquina, os conteúdos podem não ser retirados ou podem ser danificados. Neste caso, dizemos que a máquina falhou.

(a) Se a máquina tem uma probabilidade de falha de 0,01, qual é a probabilidade de que mais de uma falha ocorra em um lote de 20 envelopes?

(b) Se a probabilidade de falha da máquina é de 0,01 e precisamos abrir um lote de 500 envelopes, qual é a probabilidade de que mais de oito falhas ocorram?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Primeiro, vamos organizar as informações do enunciado.

Nós vamos considerar sucesso se a máquina danificar o conteúdo do envelope. Sendo assim, a probabilidade de sucesso em cada tentativa é p = 0,01 .

Logo, a probabilidade de falha é q = 1 - p = 0,99 .

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

O número total de envelopes é n = 20 .

Vamos usar a variável aleatória X para representar o número de cartas danificadas, entre as 20 cartas do lote.

Logo, X tem uma distribuição binomial com parâmetro n = 20 e p = 0,01 .

A função de probabilidade de massa de X é:

P X = x = B i n x ; 20 ,   0,01

                                                                                                              = 20 x 0,01 x 0,99 20 - x                     p a r a   x = 0 ,   1 ,   2 ,   … ,   20

Agora, podemos calcular a probabilidade de ocorrer mais de uma falha no lote de 20 cartas.

P X > 1 = 1 - P X ≤ 1

= 1 - ∑ x = 0 1 b x ; 20 ,   0,01

= 1 - ∑ x = 0 1 20 x 0,01 x 0,99 20 - x

= 1 - P X = 0 - P X = 1

= 1 - 20 0 0,01 0 0,99 20 - 0 - 20 1 0,01 1 0,99 20 - 1

= 1 - 0,8179 - 0,1652

P X > 1 = 0,0169

Passo 3

O número de envelopes é n = 5 00 .

Usaremos X para representar o número de cartas danificadas, entre as 500 cartas em um lote.

Sendo assim, X tem distribuição binomial com parâmetros n = 5 00 e p = 0 , 01 .

A média da distribuição binomial é:

μ = n p = 5 00 0 , 0 1 = 5

E o desvio padrão é definido por:

σ = n p 1 - p = 5 00 0 , 0 1 1 - 0 , 0 1 = 2,225

Como queremos a probabilidade de que mais de 8 cartas sejam danificadas. Então, queremos a área a direita de x = 8 , 5 .

z = x - μ σ = 8 , 5 - 5 2 , 225 = 1,57

Logo, a probabilidade é:

P X > 8 = 1 - P ( X ≤ 8 )

= 1 - P Z < 1 , 57

= 1 - 0 , 9421

P X > 8 = 0 , 0579

Resposta

a) 0,0 169

b) 0 , 0579

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