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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 48

Derive a média e a variância da distribuição Weibull.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A função de densidade de probabilidade da função Weibull é:

f x = α β x β - 1 e - α x β

E a definição da função gama é:

Γ α = ∫ 0 ∞ x α - 1 e - x d x

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

A média μ é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade f ( x ) :

μ = ∫ 0 ∞ x f ( x ) d x

= ∫ 0 ∞ x α β x β - 1 e - α x β d x

= ∫ 0 ∞ α β x β e - α x β d x

Fazendo substituição u = α x β , x = u / α 1 / β e d u = α β x β - 1 d x :

= ∫ 0 ∞ α β x β e - u d x α β x β - 1

= ∫ 0 ∞ x e - u d u

= ∫ 0 ∞ u α 1 / β e - u d u

Usando a definição da função gama:

μ = α - 1 / β Γ 1 + 1 β

Passo 3

Agora, vamos determinar a variância, que é dada por:

V a r X = E X 2 - μ 2

Então, precisamos encontrar o valor esperado de X 2 .

E X 2 = ∫ 0 ∞ x 2 f ( x ) d x

= ∫ 0 ∞ x 2 α β x β - 1 e - α x β d x

= ∫ 0 ∞ α β x β + 1 e - α x β d x

Fazendo substituição u = α x β , x = u / α 1 / β e d u = α β x β - 1 d x :

= ∫ 0 ∞ α β x β + 1 e - u d x α β x β - 1

= ∫ 0 ∞ x 2 e - u d u

= ∫ 0 ∞ u α 2 / β e - u d u

= α - 2 / β ∫ 0 ∞ u 2 / β e - u d u

Usando a definição da função gama:

E ( X 2 ) = α - 2 / β Γ 1 + 2 β

Sendo assim, a variância é:

V a r X = α - 2 / β Γ 1 + 2 β - α - 1 / β Γ 1 + 1 β 2

= α - 2 / β Γ 1 + 2 β - α - 2 / β Γ 1 + 1 β 2

V a r ( X ) = α - 2 β Γ 1 + 2 β - Γ 1 + 1 β 2

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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